Question

【題目】如圖1：在等邊△ABC中，點D，E分別在邊AB，AC上，AD＝AE，連結BE，CD，點M、N、P分別是BE、CD、BC的中點．

(1)觀察猜想

圖1中△PMN的形狀是 ；

(2)探究證明

把△ADE繞點A逆時針方向旋轉到圖2的位置，△PMN的形狀是否發生改變？并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）等邊三角形；（2）△PMN的形狀不發生改變，仍為等邊三角形．

【解析】分析：（1）由等邊三角形的性質，得到AB=BC=AC，∠A=∠ABC=∠ACB=60°．由AD=AE，得到BD=EC．由中位線的性質，得到NP∥BD，BD=2NP，進而有∠NPC=∠ABC=60°，BD=2NP．

同理有EC=2MP，∠MPB=∠ECB=60°，得到MP=NP，∠MPN=180°－∠MPB－∠NPC=60°，即可得到結論．

（2）連接BD，CE．易證△ABD≌△ACE，得到BD=CE，∠ABD=∠ACE．由PM是△BCE的中位線，得到PM=CE且PM∥BD．同理可證PN=BD且PN∥BD，得到BD=CE，∠MPB=∠ECB，∠NPC=∠DBC，進而得到∠MPN=60°，即可得到結論．

詳解：（1）等邊三角形 ．理由如下：

∵△ABC是等邊三角形，∴AB=BC=AC，∠A=∠ABC=∠ACB=60°．

∵AD=AE，∴BD=EC．

∵N、P分別是DC、BC的中點，∴NP是△BCD的中位線，∴NP∥BD，BD=2NP，∴∠NPC=∠ABC=60°，BD=2NP．

同理可證：EC=2MP，∠MPB=∠ECB=60°．

∴MP=NP，∠MPN=180°－∠MPB－∠NPC=60°，∴△MPN是等邊三角形．

（2）△PMN的形狀不發生改變，仍為等邊三角形．理由如下：

連接BD，CE．

由旋轉可得∠BAD=∠CAE．

∵△ABC是等邊三角形，∴AB=AC，∠ACB=∠ABC=60°，

∴△ABD≌△ACE，

∴BD=CE，∠ABD=∠ACE．

∵M是BE的中點，P是BC的中點，

∴PM是△BCE的中位線，

∴PM=CE且PM∥BD．

同理可證PN=BD且PN∥BD，

∴BD=CE，∠MPB=∠ECB，∠NPC=∠DBC，

∴∠MPB+∠NPC=∠ECB+∠DBC=(∠ACB+∠ACE)+(∠ABC-∠ABD)= ∠ACB+∠ABC=120°，

∴∠MPN=60°，

∴△PMN是等邊三角形．