Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm．P為BC的中點，動點Q從點P出發，沿射線PC方向以2cm/s的速度運動，以P為圓心，PQ長為半徑作圓．設點Q運動的時間為t s．
（1）當t=1.2時，判斷直線AB與⊙P的位置關系，并說明理由；
（2）已知⊙O為△ABC的外接圓．若⊙P與⊙O相切，求t的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：直線AB與⊙P相切，

如圖，過P作PD⊥AB，垂足為D，

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，

∵AC=6cm，BC=8cm，

∴AB=10cm，

∵P為BC中點，

∴PB=4cm，

∵∠PDB=∠ACB=90°，

∠PBD=∠ABC，

∴△PBD∽△ABC，

∴ ，

即 ，

∴PD=2.4（cm），

當t=1.2時，PQ=2t=2.4（cm），

∴PD=PQ，即圓心P到直線AB的距離等于⊙P的半徑，

∴直線AB與⊙P相切

（2）解：∵∠ACB=90°，

∴AB為△ABC的外接圓的直徑，

∴BO= AB=5cm，

連接OP，

∵P為BC中點，PO為△ABC的中位線，

∴PO= AC=3cm，

∵點P在⊙O內部，

∴⊙P與⊙O只能內切，

∴當⊙P在⊙O內部時：5﹣2t=3，

當⊙O在⊙P內部時2t﹣5=3，

∴t=1或4，

∴⊙P與⊙O相切時，t的值為1或4．

【解析】（1）根據已知求出AB=10cm，進而得出△PBD∽△ABC，利用相似三角形的性質得出圓心P到直線AB的距離等于⊙P的半徑，即可得出直線AB與⊙P相切；（2）根據BO= AB=5cm，得出⊙P與⊙O只能內切，進而求出⊙P與⊙O相切時，t的值．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用勾股定理的概念和直線與圓的三種位置關系的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；直線與圓有三種位置關系：無公共點為相離；有兩個公共點為相交,這條直線叫做圓的割線；圓與直線有唯一公共點為相切，這條直線叫做圓的切線，這個唯一的公共點叫做切點．