Question

【題目】如圖1，O為正方形ABCD的中心，分別延長OA、OD到點F、E，使OF=2OA，OE=2OD，連接EF．將△EOF繞點O逆時針旋轉α角得到△E1OF1（如圖2）．
（1）探究AE1與BF1的數量關系，并給予證明；
（2）當α=30°時，求證：△AOE1為直角三角形．

Answer 1

【答案】
（1）解：AE1=BF1．

證明：∵O為正方形ABCD的中心，

∴OA=OD，

∵OF=2OA，OE=2OD，

∴OE=OF，

∵將△EOF繞點O逆時針旋轉α角得到△E1OF1

∴OE1=OF1，

∵∠F1OB=∠E1OA，OA=OB，

∴△E1AO≌△F1BO，

∴AE1=BF1

（2）證明：∵取OE1中點G，連接AG，

∵∠AOD=90°，α=30°，

∴∠E1OA=90°﹣α=60°，

∵OE1=2OA，

∴OA=OG，

∴∠E1OA=∠AGO=∠OAG=60°，

∴AG=GE1，

∴∠GAE1=∠GE1A=30°，

∴∠E1AO=90°，

∴△AOE1為直角三角形．

【解析】（1）利用旋轉不變量找到相等的角和線段，證得△E1AO≌△F1BO后即可證得結論；（2）利用已知角，得出∠GAE1=∠GE1A=30°，從而證明直角三角形．
【考點精析】本題主要考查了正方形的性質和旋轉的性質的相關知識點，需要掌握正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形；①旋轉后對應的線段長短不變，旋轉角度大小不變；②旋轉后對應的點到旋轉到旋轉中心的距離不變；③旋轉后物體或圖形不變，只是位置變了才能正確解答此題．