Question

【題目】探究與發現：

如圖1所示的圖形，像我們常見的學習用品﹣﹣圓規．我們不妨把這樣圖形叫做“規形圖”，那么在這一個簡單的圖形中，到底隱藏了哪些數學知識呢？下面就請你發揮你的聰明才智，解決以下問題：

（1）觀察“規形圖”，試探究∠BDC與∠A、∠B、∠C之間的關系，并說明理由；

（2）請你直接利用以上結論，解決以下三個問題：

①如圖2，把一塊三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的兩條直角邊XY、XZ恰好經過點B、C，若∠A＝50°，則∠ABX+∠ACX＝　 　°；

②如圖3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝50°，∠DBE＝130°，求∠DCE的度數；

③如圖4，∠ABD，∠ACD的10等分線相交于點G1、G2…、G9，若∠BDC＝140°，∠BG1C＝77°，求∠A的度數．

Answer 1

【答案】（1）∠BDC＝∠A+∠B+∠C，理由見解析；（2）①40°；②90°；③70°．

【解析】

（1）根據題意觀察圖形連接AD并延長至點F，根據一個三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角的和可證∠BDC=∠BDF+∠CDF；

（2）①由（1）的結論可得∠ABX+∠ACX+∠A=∠BXC，然后把∠A=50°，∠BXC=90°代入上式即可得到∠ABX+∠ACX的值；

②結合圖形可得∠DBE=∠DAE+∠ADB+∠AEB，代入∠DAE=50°，∠DBE=130°即可得到∠ADB+∠AEB的值，再利用上面得出的結論可知∠DCE=（∠ADB+∠AEB）+∠A，易得答案．

③由②方法，進而可得答案．

解：（1）連接AD并延長至點F，

由外角定理可得∠BDF＝∠BAD+∠B，∠CDF＝∠C+∠CAD；

∵∠BDC＝∠BDF+∠CDF，

∴∠BDC＝∠BAD+∠B+∠C+∠CAD.

∵∠BAC＝∠BAD+∠CAD；

∴∠BDC＝∠BAC +∠B+∠C；

（2）①由（1）的結論易得：∠ABX+∠ACX+∠A＝∠BXC，

又因為∠A＝50°，∠BXC＝90°，

所以∠ABX+∠ACX＝90°﹣50°＝40°；

②由（1）的結論易得∠DBE＝∠DAE +∠ADB+∠AEB，

∵∠DAE=50°，∠DBE=130°，

∴∠ADB+∠AEB＝80°；

∴∠DCE＝(ADB+∠AEB)+A=40°+50°=90°；

③由②知，∠BG1C＝(ABD+∠ACD)+A，

∵∠BG1C＝77°，

∴設∠A為x°，

∵∠ABD+∠ACD＝140°﹣x°，

∴(40﹣x)x＝77，

∴14﹣x+x＝77，

∴x＝70，

∴∠A為70°．