Question

【題目】如圖，已知△ABC和△DCE均是等邊三角形，點B、C、E在同一條直線上，AE與BD交于點O，AE與CD交于點G，AC與BD交于點F，連接OC、FG，則下列結論：①AE=BD；②AO=BF；③FG∥BE；④∠BOC=∠EOC；⑤BO=OC+AO，其中正確的結論有（ ）個．
A.5
B.4
C.3
D.2

Answer 1

【答案】B
【解析】解：①∵△ABC和△DCE均是等邊三角形， ∴BC=AC，CD=CE，∠ACB=60°，∠DCE=60°，
∴∠BCD=180°﹣60°=∠ACE．
在△BCD和△ACE中， ，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴BD=AE，結論①成立；
②∵△BCD≌△ACE，
∴∠CBF=∠CAG．
∵∠ACB=60°，∠DCE=60°，
∴∠ACG=180°﹣∠ACB﹣∠DCE=60°．
在△BCF和△ACG中， ，
∴△BCF≌△ACG（ASA），
∴BF=AG，結論②不成立；
③∵△BCF≌△ACG，
∴CF=CG．
∵∠FCG=60°，
∴△CFG為等邊三角形，
∴∠CFG=60°．
∵∠BCF=60，
∴∠BCF=∠CFG，
∴FG∥BE，結論③成立；
④過點C作CM⊥AE于點M，CN⊥BD于點N，如圖所示．
∵△BCD≌△ACE，
∴∠CDN=∠CEM．
在△CDN和△CEM中， ，
∴△CDN≌△CEM（AAS），
∴CM=CN，
∴OC為∠BOE的角平分線，
∴∠BOC=∠EOC，結論④成立；
⑤在AE上尋找點P，連接CP使得CP=CO，如圖2所示．
∵△CDN≌△CEM，
∴EM=DN，
∵BD=AE，BF=AG，
∴MG=NF．
在△CMG和△CNF中， ，
∴△CMG≌△CNF（SSS），
∴∠MCG=∠NCF，
∴∠MCN=∠GCF=60°，
∴∠MON=360°﹣∠MCN﹣90°﹣90°=120°．
∵∠BOC=∠EOC，
∴∠BOC=∠EOC= ∠MON=60°，
∴∠COD=180°﹣∠BOC=120°．
∵CP=CO，∠COP=60°，
∴△COP為等邊三角形，
∴∠CPO=60°，OP=OC，
∴∠CPE=180°﹣∠CPO=120°=∠COD．
在△COD和△CPE中， ，
∴△COD≌△CPE（AAS），
∴OD=PE．
∴BO=BD﹣OD=AE﹣PE=AO+OP=AO+OC，結論⑤成立．
綜上所述：正確的結論有①③④⑤．
故選B．


【考點精析】通過靈活運用等邊三角形的性質，掌握等邊三角形的三個角都相等并且每個角都是60°即可以解答此題．