Question

【題目】△ABC是⊙O的內接三角形，BC= ．如圖，若AC是⊙O的直徑，∠BAC=60°，延長BA到點D，使得DA= BA，過點D作直線l⊥BD，垂足為點D，請將圖形補充完整，判斷直線l和⊙O的位置關系并說明理由．

Answer 1

【答案】解：圖形如圖所示，直線l與⊙O相切．
理由：作OF⊥l于F，CE⊥l于E，
∵AC是直徑，
∴∠ABC=90°，
∵l⊥BD，
∴∠BDE=90°，
∵OF⊥l，CE⊥l，
∴AD∥OF∥CE，
∵AO=OC，
∴DF=FE，
∴OF= （AD+CE），
設AD=a，則AB=2AD=2a，
∵∠ABC=∠BDE=∠CED=90°，
∴四邊形BDEC是矩形，
∴CE=BD=3a，
∴OF=2a，
∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，AB=2a，
∴AC=4a，
∴OF=OA=2a，
∴直線l是⊙O切線
【解析】作OF⊥l于F，CE⊥l于E，設AD=a，則AB=2AD=2a，只要證明OF是梯形ADEC的中位線即可解決問題．
【考點精析】通過靈活運用直線與圓的三種位置關系，掌握直線與圓有三種位置關系：無公共點為相離；有兩個公共點為相交,這條直線叫做圓的割線；圓與直線有唯一公共點為相切，這條直線叫做圓的切線，這個唯一的公共點叫做切點即可以解答此題．