Question

【題目】如圖，二次函數y=ax2+bx+c（a＞0）圖象的頂點為D，其圖象與x軸的交點A、B的橫坐標分別為﹣1，3．與y軸負半軸交于點C，在下面五個結論中：

①2a﹣b=0；②a+b+c＞0；③c=﹣3a；④只有當a=時，△ABD是等腰直角三角形；⑤使△ACB為等腰三角形的a值可以有四個．

其中正確的結論是 ．（只填序號）

Answer 1

【答案】③④．

【解析】

試題分析：先根據圖象與x軸的交點A，B的橫坐標分別為﹣1，3確定出AB的長及對稱軸，再由拋物線的開口方向判斷a與0的關系，由拋物線與y軸的交點判斷c與0的關系，然后根據對稱軸及拋物線與x軸交點情況進行推理，進而對所得結論進行判斷．

解：①∵圖象與x軸的交點A，B的橫坐標分別為﹣1，3，

∴AB=4，

∴對稱軸x=﹣=1，

即2a+b=0．

故①錯誤；

②根據圖示知，當x=1時，y＜0，即a+b+c＜0．

故②錯誤；

③∵A點坐標為（﹣1，0），

∴a﹣b+c=0，而b=﹣2a，

∴a+2a+c=0，即c=﹣3a．

故③正確；

④∵△ADB為等腰直角三角形．

所以AD=BD=

設D（1，a+b+c），又b=﹣2a，c=﹣3a，故D（1，﹣4a）；

列方程求解得a=1/2或a=﹣1/2（舍去）

∴只有a=1/2時三角形ABD為等腰直角三角形

故④正確；

⑤要使△ACB為等腰三角形，則必須保證AB=BC=4或AB=AC=4或AC=BC，

當AB=BC=4時，

∵AO=1，△BOC為直角三角形，

又∵OC的長即為|c|，

∴c2=16﹣9=7，

∵由拋物線與y軸的交點在y軸的負半軸上，

∴c=﹣，

與2a+b=0、a﹣b+c=0聯立組成解方程組，解得a=；

同理當AB=AC=4時

∵AO=1，△AOC為直角三角形，

又∵OC的長即為|c|，

∴c2=16﹣1=15，

∵由拋物線與y軸的交點在y軸的負半軸上，

∴c=﹣

與2a+b=0、a﹣b+c=0聯立組成解方程組，解得a=；

同理當AC=BC時

在△AOC中，AC2=1+c2，

在△BOC中BC2=c2+9，

∵AC=BC，

∴1+c2=c2+9，此方程無解．

經解方程組可知只有兩個a值滿足條件．

故⑤錯誤．

綜上所述，正確的結論是③④．

故答案是：③④．