Question

（2008•山西）如圖，已知直線l₁的解析式為y=3x+6，直線l₁與x軸，y軸分別相交于A，B兩點，直線l₂經過B，C兩點，點C的坐標為（8，0），又已知點P在x軸上從點A向點C移動，點Q在直線l₂從點C向點B移動．點P，Q同時出發，且移動的速度都為每秒1個單位長度，設移動時間為t秒（1＜t＜10）．
（1）求直線l₂的解析式；
（2）設△PCQ的面積為S，請求出S關于t的函數關系式；
（3）試探究：當t為何值時，△PCQ為等腰三角形？

Answer 1

【答案】分析：（1）因為l₁過點B，所以代入直線l₁的解析式求得點B的坐標，又因為直線l₂經過B，C兩點，所以將點B、C的坐標代入直線y=kx+b，列方程組即可求得；
（2）過Q作QD⊥x軸于D，則△CQD∽△CBO，
∴，由題意，知OA=2，OB=6，OC=8，
∴BC==10，
∴，∴QD=t，即可求得函數解析式；
（3）要想使△PCQ為等腰三角形，需滿足CP=CQ，或QC=QP，或PC=PQ．
解答：解：（1）由題意，知B（0，6），C（8，0），
設直線l₂的解析式為y=kx+b，則，
解得k=-，b=6，
則l₂的解析式為y=-x+6；

（2）解法一：如圖，過P作PD⊥l₂于D，
∵∠PDC=∠BOC=90°，∠DCP=∠OCB
∴△PDC∽△BOC
∴
由題意，知OA=2，OB=6，OC=8
∴BC==10，PC=10-t
∴=，
∴PD=（10-t）
∴S_△PCQ=CQ•PD=t•（10-t）=-t²+3t；

解法二：如圖，過Q作QD⊥x軸于D，
∵∠QDC=∠BOC=90°，∠QCD=∠BCO
∴△CQD∽△CBO
∴
由題意，知OA=2，OB=6，OC=8
∴BC==10
∴
∴QD=t
∴S_△PCQ=PC•QD=（10-t）•t=-t²+3t；

（3）∵PC=10-t，CQ=t，
要想使△PCQ為等腰三角形，需滿足CP=CQ，或QC=QP，或PC=PQ，
∴當CP=CQ時，由題10-t=t，得t=5（秒）；
當QC=QP時，=，即=解得t=（秒）；
當PC=PQ時，=，即=，解得t=（秒）；
即t=5或或．
點評：此題考查了一次函數與三角形的綜合知識，要注意待定系數法的應用，要注意數形結合思想的應用．