Question

【題目】如圖，在平行四邊形ABCD中，點E是CD的中點，點F是BC邊上的點，AF=AD+FC，平行四邊形ABCD的面積為S，由A、E、F三點確定的圓的周長為t．

（1）若△ABE的面積為30，直接寫出S的值；

（2）求證：AE平分∠DAF；

（3）若AE=BE，AB=4，AD=5，求t的值．

Answer 1

【答案】（1）平行四邊形ABCD的面積為60；（2）證明見解析；（3）△AEF的外接圓的周長t=π．

【解析】（1）作EG⊥AB于點G，由S△ABE=×AB×EG=30得ABEG=60，即可得出答案；

（2）延長AE交BC延長線于點H，先證△ADE≌△HCE得AD=HC、AE=HE及AD+FC=HC+FC，結合AF=AD+FC得∠FAE=∠CHE，根據∠DAE=∠CHE即可得證；

（3）先證∠ABF=90°，根據勾股定理可得出AF2=AB2+BF2=16+（5﹣FC）2=（FC+CH）2=（FC+5）2，據此求得FC的長，從而得出AF的長度，再由AE=HE、AF=FH知FE⊥AH，即AF是△AEF的外接圓直徑，從而得出答案．

（1）如圖，作EG⊥AB于點G，

則S△ABE=×AB×EG=30，則ABEG=60，

∴平行四邊形ABCD的面積為60；

（2）如圖，延長AE交BC延長線于點H，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，

∴∠ADE=∠HCE，∠DAE=∠CHE，

∵E為CD的中點，

∴CE=ED，

∴△ADE≌△HCE，

∴AD=HC、AE=HE，

∴AD+FC=HC+FC，

由AF=AD+FC和FH=HC+FC得AF=FH，

∴∠FAE=∠CHE，

又∵∠DAE=∠CHE，

∴∠DAE=∠FAE，

∴AE平分∠DAF；

（3）連接EF，

∵AE=BE、AE=HE，

∴AE=BE=HE，

∴∠BAE=∠ABE，∠HBE=∠BHE，

∵∠DAE=∠CHE，

∴∠BAE+∠DAE=∠ABE+∠HBE，即∠DAB=∠CBA，

由四邊形ABCD是平行四邊形得∠DAB+∠CBA=180°，

∴∠CBA=90°，

∴AF2=AB2+BF2=16+（5﹣FC）2=（FC+CH）2=（FC+5）2，

解得：FC=，

∴AF=FC+CH=，

∵AE=HE、AF=FH，

∴FE⊥AH，

∴AF是△AEF的外接圓直徑，

∴△AEF的外接圓的周長t=π．