Question

四邊形中，∥，，，．點為射線上動點（不與點、重合），點在直線上，且．記，，，．
（1）當點在線段上時，寫出并證明與的數量關系；
（2）隨著點的運動，（1）中得到的關于與的數量關系，是否改變？若認為不改變，請證明；若認為會改變，請求出不同于（1）的數量關系，并指出相應的的取值范圍；
（3）若cos=，試用的代數式表示．

Answer 1

見解析

證明：（1）∠1=∠2                                                  1分
∵∠=∠+∠1，又∠=∠+∠2，
∴∠+∠1=∠+∠2，
∵∠==∠，
∴∠1=∠2                                                 2分
解：（2）會改變，當點在延長線上時，即時，                 1分
∠1與∠2的數量關系不同于（1）的數量關系。
∵∠==∠，
∴ =－∠2，                                        1分
∵∠+∠+=180°，
∴+∠1+－∠2=180°，                                   1分
∴∠1－∠2=180°－2．                                     1分
解：（3）情況1：當點在線段上時，
∵∠1=∠2，∠ =∠，
∴△∽△，                                1分
∴，                                      1分
即，
∴。                                    2分
情況2：當點在線段的延長線上時，
可得△∽△，
∴                                     1分
作//，可得
作，由得


∴，
于是
即
亦即                                2分
（1）∠APC是△ABP的外角，根據外角等于不相鄰的兩個內角之和易得∠1=∠2；
（2）當BP＞5時，∠1與∠2的數量關系顯然會改變．根據三角形內角和定理得新的關系；
（3）分兩種情形分別求解．①當點P在線段BC上時，根據△ABP∽△PCE得關系求解；②當點P在線段BC的延長線上時，根據△EPC∽△EGP得關系求解．