Question

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC為直徑的⊙O與AB邊交于點D，過點D作⊙O的切線，交
BC于點E．
（1）求證：點E是邊BC的中點；
（2）若EC=3，BD=，求⊙O的直徑AC的長．

Answer 1

24．（1）證明：連接CD，∵AC是⊙O的直徑，∠ACB=90°，
∴BC是⊙O的切線，∵DE是⊙O的切線，
∴DE=CE，∴∠EDC=∠ECD，∵∠ADC=90°，
∴∠BDC=90°，∴∠B+∠DCB=90°，
∠BDE+∠EDC=90°，∴∠B=∠BDE，
∴BE=DE，∴BE=CE，即點E是BC的中點。
（2）∵EC=3，∴BC=6， BD=，
在Rt△BCD中，cosB===.在Rt△ABC中，cosB=，∴AB==.
∴===18，∴AC=.

（1）連接CD，由∠ACB=90°得BC是⊙O的切線，再有DE是⊙O的切線，根據切線長相等可得DE=CE，所以∠EDC=∠ECD。因為∠B+∠DCB=90°，∠BDE+∠EDC=90°，根據等角的余角相等可得∠B=∠BDE，所以BE=DE，結合DE=CE，所以BE=CE，即點E是BC的中點。
（2）根據勾股定理求得BD的長，再解直角三角形△BCD、△ABC求得AB的長，最后根據勾股定理即可求得AC的長。