Question

【題目】如圖，在矩形中，是邊的中點，，垂足為點，連接，有下列五個結論：①；②；③；④；⑤．其中正確結論的個數是( )

A.1B.C.D.

Answer 1

【答案】D

【解析】

①四邊形ABCD是矩形，BE⊥AC，則∠ABC=∠AFB=90°，又∠BAF=∠CAB，于是△AEF∽△CAB；

②由，又AD∥BC，所以，故可得CF=2AE；

③過D作DM∥BE交AC于N，得到四邊形BMDE是平行四邊形，求出，得到CN=NF，根據線段的垂直平分線的性質可得結論；

④設AE=a，AB=b，則AD=2a，由△BAE∽△ADC，得出，進而得出；

⑤由AE∥BC，推出，設S△AEF=S△DEF=m，推出S△ABF=2m，S△BFC=4m，S矩形ABCD=12m，S矩形BCDF=8m，推出S△ABF：S四邊形BCDF=1：4，故⑤正確

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，∠ABC=90°，AD=BC，

∵BE⊥AC于點F，

∴∠EAC=∠ACB，∠ABC=∠AFE=90°，

∴△AEF∽△CAB，故①正確；

∵AD∥BC，

∴△AEF∽△CBF，

∴，

∵AE=AD=BC，

∴，

∴CF=2AF，故②正確；

如圖，過D作DM∥BE交AC于N，

∵DE∥BM，BE∥DM，

∴四邊形BMDE是平行四邊形，

∴BM=DE=BC，

∴BM=CM，

∴CN=NF，

∵BE⊥AC于點F，DM∥BE，

∴DN⊥CF，

∴DM垂直平分CF，

∴DF=DC，故③正確；

設AE=a，AB=b，則AD=2a，

由△BAE∽△ADC，有，即，

所以，b=，

∴，故④錯誤；

，

，

設，

，，，，

故⑤正確；

故選：D．