Question

如圖，AB是半圓的直徑，點O是圓心，點C是OA的中點，CD⊥OA交半圓于點D，點E是的中點，連接AE、OD，過點D作DP∥AE交BA的延長線于點P．

（1）求∠AOD的度數；

（2）求證：PD是半圓O的切線．

Answer 1

【考點】垂徑定理；平行線的性質；圓周角定理；切線的判定．

【分析】（1）根據CO與DO的數量關系，即可得出∠CDO的度數，進而求出∠AOD的度數；

（2）利用點E是的中點，進而求出∠EAB=30°，即可得出∠AFO=90°，即可得出答案．

【解答】（1）解：∵AB是半圓的直徑，點O是圓心，點C是OA的中點，

∴2CO=DO，∠DCO=90°，

∴∠CDO=30°，

∴∠AOD=60°；

（2）證明：如圖，連接OE，

∵點E是的中點，

∴=，

∵由（1）得∠AOD=60°，

∴∠DOB=120°，

∴∠BOE=60°，

∴∠EAB=30°，

∴∠AFO=90°，

∵DP∥AE，

∴PD⊥OD，

∴直線PD為⊙O的切線．