Question

如圖，已知拋物線y=x²+bx+c的頂點坐標為M（0，﹣1），與x軸交于A、B兩點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）判斷△MAB的形狀，并說明理由；

（3）過原點的任意直線（不與y軸重合）交拋物線于C、D兩點，連接MC，MD，試判斷MC、MD是否垂直，并說明理由．

Answer 1

【考點】二次函數綜合題．

【分析】方法一：

（1）待定系數法即可解得．

（2）由拋物線的解析式可知OA=OB=OM=1，得出∠AMO=∠MAO=∠BMO=∠MBO=45°從而得出△MAB是等腰直角三角形．

（3）分別過C點，D點作y軸的平行線，交x軸于E、F，過M點作x軸的平行線交EC于G，交DF于H，設D（m，m²﹣1），C（n，n²﹣1），通過EG∥DH，得出=，從而求得m、n的關系，根據m、n的關系，得出△CGM∽△MHD，利用對應角相等得出∠CMG+∠DMH=90°，即可求得結論．

方法二：

（1）略．

（2）求出A，B，M三點坐標，用勾股定理或黃金法則二證明直角，用對稱性證明等腰．

（3）設CD的直線方程與拋物線聯立，求出C，D參數坐標，利用黃金法則二證明垂直．

【解答】方法一：

解：（1）∵拋物線y=x²+bx+c的頂點坐標為M（0，﹣1），

∴，解得b=0，c=﹣1，

∴拋物線的解析式為：y=x²﹣1．

 

（2）△MAB是等腰直角三角形．

由拋物線的解析式為：y=x²﹣1可知A（﹣1，0），B（1，0），

∴OA=OB=OM=1，

∴∠AMO=∠MAO=∠BMO=∠MBO=45°，

∴∠AMB=∠AMO+∠BMO=90°，AM=BM，

∴△MAB是等腰直角三角形．

 

 

（3）MC⊥MD；

分別過C點，D點作y軸的平行線，交x軸于E、F，過M點作x軸的平行線交EC延長線于G，交DF于H，

設D（m，m²﹣1），C（n，n²﹣1），

∴OE=﹣n，CE=1﹣n²，OF=m，DF=m²﹣1，

∵OM=1，

∴CG=n²，DH=m²，

∵EG∥DH，

∴=，

即=，

m（1﹣n²）=﹣n（m²﹣1），

m﹣mn²=﹣m²n+n，

（m²n﹣mn²）=﹣m+n，

mn（m﹣n）=﹣（m﹣n），

∴mn=﹣1

解得m=﹣，

∵==﹣n， ===﹣n，

∴=，

∵∠CGM=∠MHD=90°，

∴△CGM∽△MHD，

∴∠CMG=∠MDH，

∵∠MDH+∠DMH=90°

∴∠CMG+∠DMH=90°，

∴∠CMD=90°，

即MC⊥MD．

方法二：

（1）略．

（2）A（﹣1，0），B（1，0），M（0，﹣1），

∴K_AM==﹣1，K_BM==1，

∴K_AM×K_BM=﹣1，∴AM⊥BM，

又AM=，

BM=，

∴AM=BM，

∴△MAB為等腰直角三角形．

 

（3）當直線為x軸時，直線CD與拋物線的交點為A，B，由（2）可知CM⊥DM，設CD的直線方程為：y=kx（k≠0）

∴⇒x=或，

∴C（，），D（，），

K_CM=，

K_DM=，

∴K_CM×K_DM=﹣1，

∴CM⊥DM．