Question

【題目】如圖，點A（-3,0）、點B（0，），直線與x軸、y軸分別交于點D、C，M是平面內一動點，且∠AMB=60°，則MCD面積的最小值是 ________．

Answer 1

【答案】

【解析】

由直線方程求出點D、C的坐標，由已知M是平面內一動點，且∠AMB=60知點M在ΔABM的外接圓上，由已知推導出AB∥CD，則可知要使ΔMCD面積最小，只需點M在AB的垂直平分線上，進而證得ΔABM是等邊三角形，通過推理求出點M坐標，即可求得面積最小值.

∵M是平面內一動點，且∠AMB=60，

∴點M在ΔABM的外接圓上，

∵直線與x軸、y軸分別交于點D、C，

∴C（0，），D（4，0），

∴OC=，OD=4，

∴tan∠ODC=，

∴∠ODC=60，

∵點A（-3,0）、點B（0，），

∴OA=3，OB=，

∴tan∠OAB=，且AB=，

∴∠OAB=60，

∴AB∥CD ，

∴當M在AB的垂直平分線上時，ΔMCD的面積最小，此時AM=BM，

∵∠AMB=60，

∴ΔAMB是等邊三角形，

∴∠BAM=60，

∴點M在x軸上，且AM=AB=6，

∴點M（3,0）

∴MD=1，

∴ΔMCD的面積最小值為，

故答案為：.