Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，中位線EF分別交BD，AC于點G，H，∠ACB=30°，則下列結論中正確的有

 

．（填序號）
（1）EG+HF=AD；（2）AO•OB=CO•OD；（3）BC-AD=2GH；（4）△ABH是等邊三角形．

Answer 1

分析：（1）因為EF是梯形ABCD的中位線，根據平行線分線段成比例定理，可知EG是△ABD的中位線，HF是△ACD的中位線，再利用中位線定理，可求出EG+FH=AD．
（2）根據平行線分線段成比例定理的推論，可證△AOD∽△COB，即可得比例線段．
（3）利用梯形中位線定理，再解合（1）的結論，可證．
（4）因為△ABC是直角三角形，F是斜邊上的中點，且∠ACB=30°，可證AH=BH=AB，那么△ABH是等邊三角形．

解答：解：（1）∵中位線EF分別交BD，AC于點G，H
∴EG、HF分別是△ABD、△ACD的中位線，
∴EG=

1

2

AD，HF=

1

2

AD
∴EG+HF=AD
（2）∵AD∥BC
∴△AOD∽△COB
∴

AO

CO

=

OD

OB

，即AO•OB=CO•OD
（3）∵中位線EF分別交BD，AC于點G，H
∴FG、HF分別是△CBD、△ACD的中位線
∴FG=

1

2

BC，HF=

1

2

AD
∴GH=FG-HF=

1

2

（BC-AD）
∴BC-AD=2GH
（4）∵EH∥BC，AE=EB
∴AH=HC
∴在Rt△ABC中，BH=AH
又∵∠ACB=30°
∴∠BAC=60°
∴△ABH是等邊三角形．
故全部正確．

點評：此題綜合性較強，考查了三角形的中位線定理、相似三角形的有關內容、等邊三角形的判定、直角三角形的性質等知識．