Question

（2013•本溪一模）如圖，已知拋物線y=ax²+bx+3（a≠0）經過A（-1，0），C（3，0）兩點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖，動點D從點O開始沿OB向終點B以每秒1個單位長度的速度運動，動點E從點O開始沿OC向終點C以每秒2個單位長度的速度運動，過點E作GE⊥OC，交CB于點F，交拋物線y=ax²+bx+3于點G，連接BG，DF，點D，E從點O同時出發，當其中一點到達端點時，另一點也隨之停止運動．設運動時間為t秒（t≥0），在運動過程中，若四邊形BDFG為正方形，求t的值；
（3）將（2）中的正方形BDFG沿y軸翻折180°，得到正方形BDF′G′，然后將正方形BDF′G′沿直線BC方向向下平移，設在平移過程中正方形BDF′G′與△BOC重合部分的面積為S，平移的距離為m（0≤m≤3

2

），請直接寫出S與m之間的函數關系式．

Answer 1

分析：（1）利用待定系數法求二次函數解析式解答即可；
（2）方法一：令x=0求出點B的坐標，然后表示出點D的坐標，從而得到BD的長度，再求出直線BC的解析式，并求出點E的坐標，然后根據拋物線解析式與直線解析式求出GF，根據平行四邊形對邊平行且相等可得BD=GF，列出方程求出t的值，再進行驗證即可得解；
方法二：令x=0求出點B的坐標，然后表示出點D的坐標，從而得到BD的長度，再求出直線BC的解析式，并求出點E的坐標，然后表示出點F的坐標，再根據正方形的鄰邊垂直且相等表示出DF，并根據BD=DF列出方程求出t值，再求出F、G的坐標，然后進行判定即可；
（3）分①DF′在x軸上方時，表示出重疊部分矩形的寬，然后根據矩形的面積公式列式計算即可得解；②DF在x軸下方，F′G′在y軸左邊時，重疊部分等于△BOC的面積減去兩個等腰直角三角形的面積，列式整理即可得解；③DF′在x軸下方，F′G′在y軸右邊時，表示出重疊部分矩形的寬，再根據矩形的面積公式列式計算即可得解．

解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+3（a≠0）經過A（-1，0），C（3，0）兩點，
∴

a-b+3=0 9a+3b+3=0

，
解得

a=-1 b=2

，
所以，拋物線的解析式為y=-x²+2x+3；

（2）方法一：令x=0，則y=3，
∴點B的坐標為（0，3），
由題意得，點D的坐標為（0，t），
BD=3-t，
∵C（3，0），
∴直線BC的解析式為y=-x+3，
∵點E的坐標為（2t，0），
∴GF=-（2t）²+4t+3-（-2t+3）=-4t²+6t，
當BD=GF時，由于BD∥GF，四邊形BDFG是平行四邊形，
∴-4t²+6t=3-t，
整理得，4t²-7t+3=0，
解得t₁=1，t₂=

3

4

，
當t=1時，點D的坐標為（0，1），點F的坐標為（2，1），
點B的坐標為（0，3），
此時BD=BF，∠FDB=90°，
∴四邊形BDFG是正方形；
當t=

3

4

時，點D的坐標為（0，

9

4

），點F的坐標為（

3

2

，

3

2

），∠FDB≠90°，
∴四邊形BDFG不是正方形，
故，當t=1時，四邊形BDFG是正方形；

方法二：令x=0，則y=3，
∴點B的坐標為（0，3），
由題意得，點D的坐標為（0，t），
BD=3-t，
∵C（3，0），
∴直線BC的解析式為y=-x+3，
∵點E的坐標為（2t，0），
∴點F的坐標為（2t，-2t+3），
若四邊形BDFG是正方形，則DF⊥BD，DF=BF，
∴-2t+3=t，
解得t=1，
此時，點F的坐標為（2，1），點G的坐標為（2，3），
∴BD=FG=DF=BG=2，
∴四邊形BDFG是正方形；

（3）∵B（0，3），C（3，0），
∴OB=OC，
∴△BOC是等腰直角三角形，
如圖所示，①DF′在x軸上方時，0≤m＜

2

，重疊部分矩形的寬=

2

2

m，
面積=2×

2

2

m=

2

m，
②DF在x軸下方，F′G′在y軸左邊時，

2

≤m＜2

2

，
重疊部分的面積=

1

2

×3×3-

1

2

×

2 m

2

×

2 m

2

-

1

2

×

2 (3 2 -m)

2

×

2 (3 2 -m)

2

，
=-

1

2

m²+

3 2

2

m，
③DF′在x軸下方，F′G′在y軸右邊時，2

2

≤m≤3

2

，重疊部分矩形的寬=

2

2

（3

2

-m），
面積=

2

2

（3

2

-m）×2=-

2

m+6，
綜上所述，S=

2 m(0≤m＜ 2 ) - 1 2 m2+ 3 2 2 m( 2 ≤m＜2 2 ) - 2 m+6(2 2 ≤m≤3 2 )

．

點評：本題是二次函數綜合題型，主要利用了待定系數法求二次函數解析式，等腰直角三角形的性質，正方形的判定與性質，陰影部分面積的表示方法，難點在于（3）要根據移動的距離的變化以及陰影部分的不同表示方法分情況討論．