Question

【題目】已知關于x的二次函數y ＝－x2＋（k－2）x＋k＋1.

（1）求證：該函數的圖象與x軸一定有兩個交點；

（2）當k ＝1時，設該函數的圖象與x軸的交點為A、B（A在B的左側），與y軸的交點為C，點P為其圖象的對稱軸上一動點，是否存在點P，使BP＋CP最小，若存在，求出點P的坐標.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）（，）

【解析】

（1）令y=0，證明△＞0，即可證明該函數的圖象與x軸一定有兩個交點；（2）當k=1時，求出函數解析式，算出A，B，C的坐標，則A、B關系對稱軸對稱，要使BP＋CP最小，及使AP＋CP最小，則P為對稱軸與直線AC的交點，求出即可.

解：（1）∵△=（k－2）2－4×（－1）（k+1）=k2+8，

∵k2+8≥8，

∴該函數的圖象與x軸一定有兩個交點；

（2）當k=1時，y=－x2－x+2=－（x+）2+

即此函數圖象的對稱軸為x=-2，當y=0時，－x2－x+2=0，解得：x1=1，x2=－2，

即A（－2，0），B（1，0）；當x=0時，y=2，即C（0，2）；

∵A、B關于直線x=對稱，

∴則A、B關系對稱軸對稱，要使BP＋CP最小，及使AP＋CP最小，則P為對稱軸與直線AC的交點，設直線AC對應的解析式為：y=kx+b，

∴代入A、C兩點，則，解得k=1，b=2，即y=x+2，當x=時，y=

∴點P的坐標為（，）