Question

【題目】如圖，等邊△ABC的邊長為6，點P從點B出發沿射線BA移動，同時，點Q從點C出發沿線段AC的延長線移動，已知點P、Q移動的速度相同，PQ與直線BC相交于點D.

（1）如圖①，當點P為AB的中點時，求CD的長；

（2）如圖②，過點P作直線BC的垂線，垂足為E，當點P、Q在移動的過程中，線段BE、DE、CD中是否存在長度保持不變的線段？請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）線段ED的長度保持不變.

【解析】

(1)過P點作PF//AC交BC于F，由題意可證△BPF是等邊三角形，△PFD≌△QCD，即可求CD的長；

(2)分點P在線段AB上，點P在線段BA的延長線上兩種情況討論，利用全等三角形的性質和判定可得DE的長度不變．

解：（1）如圖，過P點作PF∥AC交BC于F，

∵點P和點Q同時出發，且速度相同，

∴BP=CQ，

∵PF∥AQ，

∴∠PFB=∠ACB=60°，∠DPF=∠CQD，

又∵AB=AC，

∴∠B=∠ACB，∴∠B=∠PFB，

∴BP=PF，

∴PF=CQ，又∠PDF=∠QDC，

∴△PFD≌△QCD，且△PBF是等邊三角形

∴，BF=PB

∵P是AB的中點，即，

∴BF=3

∴;

（2）分兩種情況討論，得ED為定值，是不變的線段

如圖，如果點P在線段AB上，

過點P作PF∥AC交BC于F，

由（1）證得△PFD≌△QCD，且△PBF是等邊三角形

∴

∴

∴ED為定值

同理，如圖，若P在BA的延長線上，

作PM∥AC的延長線于M，

∴∠PMC=∠ACB，又∵AB=AC，

∴∠B=∠ACB=60°，

∴∠B=∠PMC=60°，

∴PM=PB，且PE⊥BC

∴，△PBM是等邊三角形

∴PM=PB=CQ

∵PM∥AC

∴∠PMB=∠QCM，∠MPD=∠CQD且PM=CQ

∴△PMD≌△QCD（ASA），

∴，

∴

綜上所述，線段ED的長度保持不變.