Question

【題目】如圖，已知二次函數的圖像與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，其中點A的坐標為，對稱軸是直線．

（1）求該二次函數的表達式；

（2）如圖，連接AC，若點P是該拋物線上一點，且，求點P的坐標；

（3）如圖，點P是該拋物線上一點，點Q為射線CB上一點，且P、Q兩點均在第四象限內，線段AQ與BP交于點M，當，且△ABM與△PQM的面積相等時，請問線段PQ的長是否為定值？如果是，請求出這個定值；如果不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3）線段PQ的長是定值，定值為7

【解析】

（1）由點A的坐標為，對稱軸是直線，即可得出方程組，解方程組即可求出二次函數的表達式；

（2）設P（x，），在y軸上取點D，，使CD=CA，可求得D（0，9），故∠ACO=2∠ADO，故∠ADO=∠PAB，所以tan∠ADO=tan∠PAB，列出方程，求出x的值即可；

（3）連接AP,由△ABM與△PQM的面積相等，可得△ABP與△PQA的面積相等，故BQ∥AP，故∠BQA=∠PAQ，∠PBQ=∠APB，由等腰三角形的判定可得AM=PM,BM=QM，故AQ=PB，根據SAS可證△ABP≌△PQA，即可得出答案．

（1）∵點A的坐標為，對稱軸是直線．

∴

∴

∴

（2）設P（x，），

當x=0時，

∴C（0，4）

∵A(-3，0)C（0．4）

∴OA=4,OC=4

∴AC=5

在y軸上C的上方取點D，使CD=CA=5，

∴OD=OC+CD=4+5=9

∴D（0，9），

連結AD，

∵CD=CA=5，

∴∠DAC-∠ADC

∴∠ACO=2∠ADO，

∴∠ADO=∠PAB，

∴tan∠ADO=tan∠PAB，

∴，

∴

∴P（3，2）或（5，）

（3）線段PQ的長是定值，為7．

連接AP

∵△ABM與△PQM的面積相等

∴△ABP與△PQA的面積相等

∴BQ∥AP

∴∠BQA=∠PAQ，∠PBQ=∠APB，

∵∠PBQ＝∠AQB，

∴∠BQA=∠PAQ=∠PBQ=∠APB，

∴AM=PM,BM=QM

∴AM=PM,BM=QM

∴AM+MQ=PM+BM

∴AQ=PB

∵∠QAP＝∠BPA，AP=AP

∴△ABP≌△PQA

∴PQ=AB=7．