Question

【題目】過直線外一點且與這條直線相切的圓稱為這個點和這條直線的點線圓．特別地，半徑最小的點線圓稱為這個點和這條直線的最小點線圓．

在平面直角坐標系中，點．

（1）已知點，，，分別以，為圓心，1為半徑作，，以為圓心，2為半徑作，其中是點和軸的點線圓的是________；

（2）記點和軸的點線圓為，如果與直線沒有公共點，求的半徑的取值范圍；

（3）直接寫岀點和直線的最小點線圓的圓心的橫坐標的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1），；（2）．（3）或．

【解析】

（1）根據題意畫出圖形，然后再根據點線圓的定義即可解答；

（2）分圖1和圖2兩種情況分別求解即可；

（3）運用極限思考的方法，分別就k=±1和k=0進行分析，最后綜合即可解答．

（1）如圖

所以點和軸的點線圓的是，；

（2）如圖1，過點，且與軸和直線都相切．此時的半徑.

如圖2，過點，且與軸和直線都相切．切點分別為，，連接，，，過點作軸于點．

設，

∴．

易證．

∴．

∵，

∴．

∴．

∴．

根據勾股定理可以得到：，即．

解得（舍），．

∴．

（3）如圖：當k=1，有最小點線圓

∵OP=2

∴PB=OB=

∴OD=BD=1

∴點E的橫坐標為

當E點為0時，線切圓半徑最大，但k≠0，故點E的橫坐標不能為0；

同理，當k=1時。有最小點線圓，且半徑橫坐標為-

綜上，最小點線圓的圓心的橫坐標的取值范或．