Question

【題目】如圖，在等邊△ABC中，點D在直線BC上，連接AD，作∠ADN=60°，直線DN交射線AB于點E，過點C作CF∥AB交直線DN于點F．

（1）當點D在線段BC上，∠NDB為銳角時，如圖①，

①判斷∠1與∠2的大小關系，并說明理由；

②過點F作FM∥BC交射線AB于點M，求證：CF+BE=CD；

（2）當點D在線段BC的延長線上，∠NDB為銳角時，如圖②；

當點D在線段CB的延長線上，∠NDB為鈍角時，如圖③；

請分別寫出線段CF，BE，CD之間的數量關系，不需要證明；

（3）在（2）的條件下，若∠ADC=30°，S△ABC=4，直接寫出BE和CD的長度．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）CF﹣CD=BE；（3）BE=8，CD=4或8．

【解析】

試題分析：（1）①根據等邊三角形的性質∠ABC=∠ACB=60°，根據已知條件得到∠1+∠ADC=120°，∠ADC+∠2=120°，根據等式的性質即可得到結論；②通過△MEF≌△CDA即可求得ME=CD，因為通過證四邊形BCFM是平行四邊形可以得出BM=CF，從而證得CF+BE=CD；

（2）作FM∥BC，得出四邊形BCFM是平行四邊形，然后通過證得△MEF≌△CDA即可求得，

（3）根據△ABC的面積可求得AB=BC=AC=4，同時代的BD=2AB=8，求得 BE=8，即可得到結論．

解：（1）①∠1=∠2，

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠ABC=∠ACB=60°

∵∠ADN=60°，

∴∠1+∠ADC=120°，∠ADC+∠2=120°，

∴∠1=∠2；

②證明：如圖①，過點F作FM∥BC交射線AB于點M，

∵CF∥AB，

∴四邊形BMFC是平行四邊形，

∴BC=MF，CF=BM，

∴∠ABC=∠EMF，∠BDE=∠MFE，

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠ABC=∠ACB=60°，BC=AC，

∴∠EMF=∠ACB，AC=MF，

∵∠ADN=60°，

∴∠BDE+∠ADC=120°，∠ADC+∠DAC=120°，

∴∠BDE=∠DAC，

∴∠MFE=∠DAC，

在△MEF與△CDA中，

，

∴△MEF≌△CDA（AAS），

∴CD=ME=EB+BM，

∴CD=BE+CF；

（2）如圖②，由（1）證得四邊形BMFC是平行四邊形，

∴BC=MF，CF=BM，

由（1）證得△MEF≌△CDA（AAS），

∴CD=ME=EB﹣BM，

∴CF+CD=BE，

如圖③，同理CF﹣CD=BE；

（3）∵△ABC是等邊三角形，S△ABC=4，

∴易得AB=BC=AC=4，

如圖②，

∵∠ADC=30°，∠ACB=60°，

∴CD=AC=4，

∵∠ADN=60°，

∴∠CDF=30°，

又∵CF∥AB，

∴∠BCF=∠ABC=60°，

∴∠CFD=∠CDF=30°，

∴CD=CF，

由（2）知BE=CF+CD，

∴BE=4+4=8．

如圖③，

∵∠ADC=30°，∠ABC=60°，

∴∠BAD=∠ADC=30°，

∴BD=BA=4，

∴CD=BD+BC=4+4=8，

∵∠ADN=60°，∠ADC=30°，

∴∠BDE=90°，

又∵∠DBE=∠ABC=60°，

∴∠DEB=30°，

在Rt△BDE中，∠DEB=30°，BD=4，

∴BE=2BD=8，

綜上，BE=8，CD=4或8．