Question

如圖，AD是△ABC的角平分線，以點C為圓心，CD為半徑作圓交BC的延長線于點E，交AD于點F，交AE于點M，且∠B=∠CAE，EF：FD=4：3．

（1）求證：點F是AD的中點；

（2）求cos∠AED的值；

（3）如果BD=10，求半徑CD的長．

Answer 1

（1）證明：∵AD是△ABC的角平分線，

∴∠1=∠2，

∵∠ADE=∠1+∠B，∠DAE=∠2+∠3，且∠B=∠3，

∴∠ADE=∠DAE，

∴ED=EA，

∵ED為⊙O直徑，

∴∠DFE=90°，

∴EF⊥AD，

∴點F是AD的中點；

（2）解：連接DM，

設EF=4k，df=3k，

則ED==5k，

∵AD•EF=AE•DM，

∴DM===k，

∴ME==k，

∴cos∠AED==；

（3）解：∵∠B=∠3，∠AEC為公共角，

∴△AEC∽△BEA，

∴AE：BE=CE：AE，

∴AE²=CE•BE，

∴（5k）²=k•（10+5k），

∵k＞0，

∴k=2，

∴CD=k=5．