Question

在一次科技活動中，小明進行了模擬雷達雪描實驗.如圖，表盤是△ABC，其中AB=AC，∠BAC=120°，在點A處有一束紅外光線AP，從AB開始，繞點A逆時針勻速旋轉，每秒鐘旋轉15°，到達AC后立即以相同的旋轉速度返回A、B，到達后立即重復上述旋轉過程.小明通過實驗發現，光線從AB處開始旋轉計時，旋轉1秒， 時光線AP交BC于點M，BM的長為（）cm.
（1）求AB的長；
（2）從AB處旋轉開始計時，若旋轉6秒，此時AP與BC邊交點在什么位置？若旋轉2014秒，此時AP與BC邊交點在什么位置？并說明理由.

Answer 1

（1）AB的長為40cm；
（2）光線AP旋轉6秒，與BC的交點距點Bcm處，光線AP旋轉2014秒后，與BC的交點在距點Bcm處．

試題分析：（1）過A點作AD⊥BC，垂足為D．令AB=2tcm．在Rt△ABD中，根據三角函數可得AD=t，BD=t．在Rt∠AMD中，MD=AD=t．由BM=BD-MD，得到關于t的方程，求得t的值，從而求得AB的長；
（2）當光線旋轉6秒，設AP交BC于點N，在Rt△ABN中，根據三角函數可得BN；設光線AP旋轉2014秒后光線與BC的交點為Q．求得CQ=80，BC=40．根據BQ=BC-CQ即可求解．
試題解析：（1）如圖1，過A點作AD⊥BC，垂足為D．

因為∠BAC=120°，AB=AC，
所以∠ABC=∠C=30°．
令AB=2tcm．
在Rt△ABD中，AD=AB=t，BD=AB=t．
在Rt∠AMD中，因為∠AMD=∠ABC+∠BAM=45°，
所以MD=AD=t．
因為BM=BD-MD．即
=t -t．
解得t=20．
所以AB=2×20=40cm．
答：AB的長為40cm；
（2）如圖2，當光線旋轉6秒，
設AP交BC于點N，此時∠BAN=15°×6=90°．

在Rt△ABN中，BN==．
所以光線AP旋轉6秒，與BC的交點N距點Bcm處．
如圖3，設光線AP旋轉2014秒后光線與BC的交點為Q．

由題意可知，光線從邊AB開始到第一次回到AB處需8×2=16秒，
而2014=125×16+14，即AP旋轉2014秒與旋轉14秒時和BC的交點是同一個點Q．
易求得CQ=，BC=40．
所以BQ=BC-CQ=40-=．
所以光線AP旋轉2014秒后，與BC的交點Q在距點Bcm處．