Question

【題目】已知拋物線y＝ax2+bx+2經(jīng)過A（﹣1，0），B（2，0），C三點(diǎn)．直線y＝mx+交拋物線于A，Q兩點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線上直線AQ上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，作PF⊥x軸，垂足為F，交AQ于點(diǎn)N．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖①，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，線段PN＝2NF，求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）如圖②，線段AC的垂直平分線交x軸于點(diǎn)E，垂足為D，點(diǎn)M為拋物線的頂點(diǎn)，在直線DE上是否存在一點(diǎn)G，使△CMG的周長(zhǎng)最小？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+x+2；（2）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）；（3）在直線DE上存在一點(diǎn)G，使△CMG的周長(zhǎng)最小，此時(shí)G（﹣，）．

【解析】

（1）將點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得到關(guān)于b、c的方程組，然后求得a，b的值，從而得到問題的答案；

（2）把A（﹣1，0）代入y＝mx+ 求得m的值，可得到直線AQ的解析式，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為n，則P（n，﹣n2+n+2），N（n， n+），F（n，0），

然后用含n的式子表示出PN、NF的長(zhǎng)，然后依據(jù)PN＝2NF列方程求解即可；

（3）連結(jié)AM交直線DE與點(diǎn)G，連結(jié)CG、CM此時(shí)，△CMG的周長(zhǎng)最小，先求得點(diǎn)M的坐標(biāo)，然后求得AM和DE的解析式，最后在求得兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)即可．

（1）∵拋物線y＝ax2+bx+2經(jīng)過A（﹣1，0），B（2，0），

∴將點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)代入得： ，解得a＝﹣1，b＝1，

∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+x+2．

（2）直線y＝mx+交拋物線與A、Q兩點(diǎn)，把A（﹣1，0）代入解析式得：m＝，

∴直線AQ的解析式為y＝x+．

設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為n，則P（n，﹣n2+n+2），N（n， n+），F（n，0），

∴PN＝﹣n2+n+2﹣（n+）＝﹣n2+n+ ，NF＝n+．

∵PN＝2NF，即﹣n2+n+＝2×（n+），解得：n＝﹣1或．

當(dāng)n＝﹣1時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)A重合，不符合題意舍去．

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）．

（3）∵y＝﹣x2+x+2，＝﹣（x﹣）2+，

∴M（，）．

如圖所示，連結(jié)AM交直線DE與點(diǎn)G，連結(jié)CG、CM此時(shí)，△CMG的周長(zhǎng)最小．

設(shè)直線AM的函數(shù)解析式為y＝kx+b，且過A（﹣1，0），M（，）．

根據(jù)題意得： ，解得 ．

∴直線AM的函數(shù)解析式為y＝x+．

∵D為AC的中點(diǎn)，

∴D（﹣，1）．

設(shè)直線AC的解析式為y＝kx+2，將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入得：﹣k+2＝0，解得k＝2，

∴AC的解析式為y＝2x+2．

設(shè)直線DE的解析式為y＝﹣x+c，將點(diǎn)D的坐標(biāo)代入得： +c＝1，解得c＝，

∴直線DE的解析式為y＝﹣x+．

將y＝﹣x+ 與y＝x+聯(lián)立，解得：x＝﹣ ，y＝ ．

∴在直線DE上存在一點(diǎn)G，使△CMG的周長(zhǎng)最小，此時(shí)G（﹣，）．