Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，AC=24cm，BC=7cm，P點在BC上，從B點到C點運動（不包括C點），點P運動的速度為2cm/s；Q點在AC上從C點運動到A點（不包括A點），速度為5cm/s．若點P、Q分別從B、C同時運動，且運動時間記為t秒，請解答下面的問題，并寫出探索的主要過程．

（1）當t為何值時，P、Q兩點的距離為5cm？

（2）當t為何值時，△PCQ的面積為15cm2？

（3）請用配方法說明，點P運動多少時間時，四邊形BPQA的面積最小？最小面積是多少？

Answer 1

【答案】（1）t=1；（2）經過2或1.5s后，S△PCQ的面積為15cm2；（3）當點P運動1.75秒時，四邊形BPQA的面積最小為： cm2．

【解析】(1)根據勾股定理PC2+CQ2=PQ2,便可求出經過1s后,P、Q兩點的距離為 cm2;

(2)根據三角形的面積公式便可求出經過2或1.5s后,S△PCQ的面積為15 cm2;

(3)根據三角形的面積公式以及二次函數最值便可求出t=1.75s時△PCQ的面積最大,進而求出四邊形BPQA的面積最小值.

解：（1）∵在Rt△ABC中，AC=24cm，BC=7cm，
∴AB=25cm，
設經過ts后，P、Q兩點的距離為5cm，
ts后，PC=7-2t cm，CQ=5t cm，
根據勾股定理可知PC2+CQ2=PQ2，
代入數據（7-2t）2+（5t）2=（5）2；
解得t=1或t=-（不合題意舍去）；
（2）設經過ts后，S△PCQ的面積為15cm2
ts后，PC=7-2t cm，CQ=5t cm，
S△PCQ==×（7-2t）×5t=15
解得t1=2，t2=1.5，
經過2或1.5s后，S△PCQ的面積為15cm2
（3）設經過ts后，△PCQ的面積最大，則此時四邊形BPQA的面積最小，
ts后，PC=7-2t cm，CQ=5t cm，
S△PCQ=×PC×CQ=×（7-2t）×5t=×（-2t2+7t）
當t=-時，即t==1.75s時，△PCQ的面積最大，
即S△PCQ=×PC×CQ=×（7-2×1.75）×5×1.752=（cm2），
∴四邊形BPQA的面積最小值為：S△ABC-S△PCQ最大=×7×24-=（cm2），
當點P運動1.75秒時，四邊形BPQA的面積最小為： cm2．