Question

【題目】平面直角坐標系中，平行四邊形ABOC如圖放置，點A、C的坐標分別為（0，3）、（﹣1，0），將此平行四邊形繞點O順時針旋轉90°，得到平行四邊形A'B'OC'．

（1）若拋物線過點C，A，A'，求此拋物線的解析式；
（2）求平行四邊形ABOC和平行四邊形A'B'OC'重疊部分△OC'D的周長；
（3）點M是第一象限內拋物線上的一動點，問：點M在何處時；△AMA'的面積最大？最大面積是多少？并求出此時M的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵A′B′O′C′由ABOC旋轉得到，且A的坐標為（0，3），得

點A′的坐標為（3，0）．

設拋物線的解析式為y=ax2+bx+c，

將A，A′C的坐標代入，得

，

解得 ，

拋物線的解析式y=﹣x2+2x+3

（2）解：∵AB∥OC，

∴∠OAB=∠AOC=90°，

∴OB= = ，

又∠OC′D=∠OCA=∠B，∠C′OD=∠BOA，

∴△C′OD∽△BOA，又OC′=OC=1，

∴ = = ，

又△ABO的周長為4+ ，

∴△C′OD的周長為 =1+

（3）解：

作MN⊥x軸交AA′于N點，

設M（m，﹣m2+2m+3），

AA′的解析式為y=﹣x+3，N點坐標為（m，﹣m+3），MN的長為﹣m2+3m，

S△AMA′= MNxA′= （﹣m2+3m）×3

=﹣ （m2﹣3m）=﹣ （m﹣ ）2+ ，

∵0＜m＜3，∴當m= 時，﹣m2+2m+3= ，M（ ， ），

△AMA′的面積有最大值

【解析】（1）根據旋轉的性質，可得A′點，根據待定系數法，可得答案；（2）根據相似三角形的判定與性質，可得答案；（3）根據面積的和差，可得二次函數，根據二次函數的性質，可得答案．
【考點精析】本題主要考查了二次函數的性質的相關知識點，需要掌握增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小才能正確解答此題．