Question

【題目】如圖1，△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，∠C=90°，將△CDE繞點C逆時針旋轉一個角度α（0°＜α＜90°），使點A，D，E在同一直線上，連接AD，BE．

（1）①依題意補全圖2；
②求證：AD=BE，且AD⊥BE；
③作CM⊥DE，垂足為M，請用等式表示出線段CM，AE，BE之間的數量關系；
（2）如圖3，正方形ABCD邊長為 ， 若點P滿足PD=1，且∠BPD=90°，請直接寫出點A到BP的距離．

Answer 1

【答案】解：（1）①依照題意補全圖2，如下圖（一）所示．

②證明：∵∠ACD+∠DCB=∠ACB=90°，∠BCE+∠DCB=∠DCE=90°，
∴∠ACD=∠BCE．
∵△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，
∴AC=BC，DC=EC．
在△ADC和△BEC中，有，
∴△ADC≌△BEC（SAS），
∴AD=BE，∠BEC=∠ADC．
∵點A，D，E在同一直線上，△CDE是等腰直角三角形，
∴∠CDE=∠CED=45°，∠ADC=180°﹣∠CDE=135°，
∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=135°﹣45°=90°，
∴AD⊥BE．
③依照題意畫出圖形，如圖（二）所示．

∵S△ABC+S△EBC=S△CAE+S△EAB ，
即ACBC+BECM=AE（CM+BE），
∴AC2﹣AEBE=CM（AE﹣BE）．
∵△CDE為等腰直角三角形，
∴DE=2CM，
∴AE﹣BE=2CM，
∴CM=．
（2）依照題意畫出圖形（三）．

其中AB=，DP=1，BD=AB=
由勾股定理得：BP==3．
結合（1）③的結論可知：
AM===1．
故點A到BP的距離為1．
【解析】（1）①根據旋轉的特性畫出圖象；②由∠ACD、∠BCE均與∠DCB互余可得出∠ACD=∠BCE，由△ABC和△CDE都是等腰直角三角形可得出AC=BC、DC=EC，結合全等三角形的判定定理SAS即可得出△ADC≌△BEC，從而得出AD=BE，再由∠BCE=∠ADC=135°，∠CED=45°即可得出∠AEB=90°，即證出AD⊥BE；③依照題意畫出圖形，根據組合圖形的面積為兩個三角形的面積和可用AE，BE去表示CM；
（2）根據題意畫出圖形，比照（1）③的結論，套入數據即可得出結論．