Question

如圖，⊙O₁、⊙O₂相交于點A、B，現給出4個命題：
（1）若AC是⊙O₂的切線且交⊙O₁于點C，AD是⊙O₁的切線且交⊙O₂于點D，則AB²=BC•BD；
（2）連接AB、O₁O₂，若O₁A=15cm，O₂A=20cm，AB=24cm，則O₁O₂=25cm；
（3）若CA是⊙O₁的直徑，DA是⊙O₂的一條非直徑的弦，且點D、B不重合，則C、B、D三點不在同一條直線上；
（4）若過點A作⊙O₁的切線交⊙O₂于點D，直線DB交⊙O₁于點C，直線CA交⊙O₂于點E，連接DE，則DE²=DB•DC．
則正確命題的序號是

 

．（在橫線上填上所有正確命題的序號）

Answer 1

分析：（1）根據弦切角定理可以證明：∠BAD=∠C，∠BAC=∠D，則△ABD∽△CBA，從而證明結論；
（2）根據相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦，再結合勾股定理，即可計算；
（3）根據直徑所對的圓周角是直角，則∠ABC=90°，∠ABD≠90°，則∠CBD≠180°；
（4）根據切割線定理，得到DA²=DB•DC，所以只需證明DA=DE，即∠DAE=∠AED．
連接AB，根據弦切角定理和圓周角定理的推論，以及三角形的外角的性質，可以證明．

解答：解：（1）∵AC是⊙O₂的切線且交⊙O₁于點C，AD是⊙O₁的切線且交⊙O₂于點D，
∴∠BAD=∠C，∠BAC=∠D，
∴△ABD∽△CBA，
∴

AB

BC

=

BD

AB

，
∴AB²=BC•BD；

（2）∵O₁O₂垂直平分AB，
∴AC=BC=12，
根據勾股定理，得：
O₁C=9，O₂C=15，
∴O₁O₂=24；

（3）∵CA是⊙O₁的直徑，DA是⊙O₂的一條非直徑的弦，
∴∠ABC=90°，∠ABD≠90°，
∴∠CBD≠180°，
∴C、B、D三點不在同一條直線上；

（4）連接AB，
根據切割線定理，得DA²=DB•DC；
∵AD切⊙O₁于A，
∴∠BAD=∠C，
又∵∠DAE=∠C+∠ADC，∠ABC=∠BAD+∠ADC，
∴∠DAE=∠ABC；
∵四邊形ABDE是圓內接四邊形，
∴∠ABC=∠E，
∴∠DAE=∠E，
∴DE=AD，
∴DE²=DB•DC．
故正確的有（1）（2）（3）（4）．

點評：連接公共弦是相交兩圓常見的輔助線之一．綜合運用切割線定理、弦切角定理、圓周角定理的推論．掌握相似三角形的性質和判定．