Question

（1）如圖1所示，在四邊形ABCD中，AC=BD，AC與BD相交于點O，E，F分別是AD、BC的中點，連接EF，分別交AC、BD于點M，N，試判斷△OMN的形狀，并加以證明；（提示：利用三角形中位線定理）
（2）如圖2，在四邊形ABCD中，若AB=CD，E，F分別是AD、BC的中點，連接FE并延長，分別與BA，CD的延長線交于點M，N，請在圖2中畫圖并觀察，圖中是否有相等的角？若有，請直接寫出結論：______；
（3）如圖3，在△ABC中，AC＞AB，點D在AC上，AB=CD，E，F分別是AD、BC的中點，連接FE并延長，與BA的延長線交于點M，若∠FEC=45°，判斷點M與以AD為直徑的圓的位置關系，并簡要說明理由．

Answer 1

（1）結論：△OMN是等腰三角形（1分）
證明：如圖1，取AB的中點H，連接HF，HE
∵E、F分別是AD、BC的中點，
∴HF∥AC，HF=

1

2

AC（2分）
∴∠FMC=∠HFE；
同理，HE∥BD，HE=

1

2

BD，
∴∠END=∠HEF；
又∵AC=BD，
∴HF=HE，
∴∠HEF=∠HFE，
∴∠END=∠FMC，（3分）
∴△OMN是等腰三角形．

（2）正確畫圖（如圖2）（4分）
連接AC、BD，取AC、BD的中點H、G；
連接EG、GF、FH、EH；
∵E，F分別是AD、BC的中點，
∴EG=

1

2

AB，GF=

1

2

CD，FH=

1

2

AB，EH=

1

2

CD，
∵AB=CD，
∴EG=GF=FH=EH，
∴四邊形EGFH是菱形．
∴∠GEF=∠HEF；
∵EG∥BM，
∴∠GEF=∠BMF，
∵HE∥CN，
∴∠CNF=∠HEF，
∴∠BMF=∠CNF．（5分）

（3）點M在以AD為直徑的圓外（6分）
證明：如圖3，由（2）的結論，∠M=∠FEC，
∵∠AEM=∠DEF，
∴∠M=∠DEF=45°，
∴∠MAD=90°
∴ME＞AE，
又∵E是AD中點，
∴點M在以AD為直徑的圓外．（7分）