Question

如圖，△ABC的頂點坐標分別為A（﹣6，0），B（4，0），C（0，8），把△ABC沿直線BC翻折，點A的對應點為D，拋物線y=ax²﹣10ax+c經過點C，頂點M在直線BC上．

（1）證明四邊形ABCD是菱形，并求點D的坐標；
（2）求拋物線的對稱軸和函數表達式；
（3）在拋物線上是否存在點P，使得△PBD與△PCD的面積相等？若存在，直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）證明：∵A（﹣6，0），B（4，0），C（0，8），
∴AB=6+4=10，。∴AB=AC。
由翻折可得，AB=BD，AC=CD。∴AB=BD=CD=AC。∴四邊形ABCD是菱形。
∴CD∥AB。
∵C（0，8），∴點D的坐標是（10，8）。
（2）∵y=ax²﹣10ax+c，∴對稱軸為直線。
設M的坐標為（5，n），直線BC的解析式為y=kx+b，
∴，解得。
∴直線BC的解析式為y=﹣2x+8。
∵點M在直線y=﹣2x+8上，∴n=﹣2×5+8=﹣2。
∴M（5，，－2）.
又∵拋物線y=ax²﹣10ax+c經過點C和M，
∴，解得。
∴拋物線的函數表達式為。
（3）存在。點P的坐標為P₁（），P₂（﹣5，38）

解析試題分析：（1）根據勾股定理，翻折的性質可得AB=BD=CD=AC，根據菱形的判定和性質可得點D的坐標。
（2）根據對稱軸公式可得拋物線的對稱軸，設M的坐標為（5，n），直線BC的解析式為y=kx+b，根據待定系數法可求M的坐標，再根據待定系數法求出拋物線的函數表達式。
（3）分點P在CD的上面下方和點P在CD的上方兩種情況，根據等底等高的三角形面積相等可求點P的坐標：
設P,
當點P在CD的上面下方，根據菱形的性質，知點P是AD與拋物線的交點，由A,D的坐標可由待定系數法求出AD的函數表達式: ,二者聯立可得P₁（）；
當點P在CD的上面上方，易知點P是∠D的外角平分線與拋物線的交點，此時，∠D的外角平分線與直線AD垂直，由相似可知∠D的外角平分線PD的斜率等于－2，可設其為，將D（10，8）代入可得PD的函數表達式: ,與拋物線聯立可得P₂（﹣5，38）。