Question

【題目】如圖,已知一次函數y=0.5x+1的圖象與x軸交于點A,與y軸交于點B,二次函數y=0.5x2+bx+c的圖象與一次函數y=0.5x+1的圖象交于點B、C兩點,與x軸交于D、E兩點,且D點坐標為（1,0）．

（1）求二次函數的解析式；

（2）在在x軸上有一動點P，從O點出發以每秒1個單位的速度沿x軸向右運動，是否存在動點P，使得△PBC是以P為直角頂點的直角三角形？若存在，求出點P運動時間t的值；若不存在，請說明理由；

（3）若動點P在x軸上，動點Q在射線AC上，同時從A點出發，點P沿x軸正方向以每秒2個單位的速度運動，點Q以每秒a個單位的速度沿射線AC運動，是否存在以A、P、Q為頂點的三角形與△ABD相似？若存在，求a的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）解析式為： ；

（2）t=1或3；

（3）當a值為或時,△APQ與△ABD相似

【解析】試題分析：（1）根據一次函數的解析式可找出點B的坐標，再根據點A、D的坐標利用待定系數法即可求出二次函數的解析式；（2）假設存在，則點P的坐標為（t，0）．聯立直線與拋物線解析式成方程組，解方程組求出點C的坐標，根據點B、P的坐標利用兩點間的距離公式即可求出PB、PC、BC的長度，再利用勾股定理即可得出關于t的一元二次方程，解方程即可得出結論；（3）假設存在，則AP=2t，AQ=at．由一次函數解析式即可找出點A的坐標，結合點B、D的坐標即可得出AB、AD的長度，分△PAQ∽BAD和△PAQ∽△DAB兩種情況考慮，根據相似三角形的性質即可得出關于a的一元一次方程，解方程即可求出a值，此題得解．

試題解析：(1)將B(0,1),D(1,0)的坐標代入y=x2+bx+c，

得： ，

解得： ，

故解析式為；

(2)設符合條件的點P存在,令P(a,0):

當P為直角頂點時，如圖：過C作CF⊥x軸于F；

∵Rt△BOP∽Rt△PCF，

∴，

即，

整理得a24a+3=0，

解得a=1或a=3；

故可得t=1或3.

(3)存在符合條件的t值，使△APQ與△ABD相似，

①當△APQ∽△ABD時, ，

解得：a=；

②當△APQ∽△ADB時, ，

解得：a=，

∴存在符合條件的a值,使△APQ與△ABD相似,a=或.