Question

【題目】動手操作：

如圖，已知AB∥CD，點A為圓心，小于AC長為半徑作圓弧，分別交AB，AC于E，F兩點，再分別以點E，F為圓心，大于EF長為半徑作圓弧，兩條圓弧交于點P，作射線AP，交CD于點M．

問題解決：

(1)若∠ACD=78°，求∠MAB的度數；

(2)若CN⊥AM，垂足為點N，求證：△CAN≌△CMN．

實驗探究：

(3)直接寫出當∠CAB的度數為多少時？△CAM分別為等邊三角形和等腰直角三角形．

Answer 1

【答案】(1)∠MAB =51°；(2)證明見解析；(3)當∠CAB為120°時，△CAM為等邊三角形．當∠CAB為90°時，△CAM為等腰直角三角形．

【解析】

（1）利用平行線的性質求出∠CAB，再根據角平分線的定義即可解決問題；

（2）根據AAS即可判斷；

（3）根據等邊三角形、等腰直角三角形的定義即可判定；

(1)∵AB∥CD，

∴∠ACD+∠CAB=180°，

又∵∠ACD=78°，

∴∠CAB=102°．

由作法知，AM是∠CAB的平分線，

∴∠MAB=∠CAB=51°；

(2)由作法知，AM平分∠CAB，

∴∠CAM=∠MAB．

∵AB∥CD，

∴∠MAB=∠CMA，

∴∠CAM=∠CMA，

∵CN⊥AM，

∴∠CNA=∠CNM=90°．

又∵CN=CN，

∴△CAN≌△CMN．

(3)當∠CAB為120°時，∠ACD=60°，AC=MC，△CAM為等邊三角形．

當∠CAB為90°時，∠ACD=90°，AC=MC，△CAM為等腰直角三角形．