Question

【題目】如果一個三角形能被一條線段分割成兩個等腰三角形，那么稱這條線段為這個三角形的特異線，稱這個三角形為特異三角形.

（1）如圖1，△ABC中，∠B=2∠C，線段AC的垂直平分線交AC于點D，交BC于點E.
求證：AE是△ABC的一條特異線.
（2）如圖2，已知BD是△ABC的一條特異線，其中∠A= ，∠ABC為鈍角，求出所有可能的∠ABC的度數.
（3）如圖3，△ABC是一個腰長為2的等腰銳角三角形，且它是特異三角形，若它的頂角
度數為整數，請求出其特異線的長度；若它的頂角度數不是整數，請直接寫出頂角度數.

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵DE是線段AC的垂直平分線,

∴EA=EC，即△EAC是等腰三角形,

∴∠EAC=∠C,

∴∠AEB=∠EAC+∠C=2∠C,

∵∠B=2∠C,

∴∠AEB=∠B，即△EAB是等腰三角形,

∴AE是△ABC的一條特異線 ,

（2）

解：若∠A=∠ADB=30°，∠ABD=120°

等腰△BCD中，∠C=∠CBD=15°

∴∠ABC=135°

若∠ABD=∠ADB=75°

等腰△BCD中，∠C=∠CBD=37.5°

∴∠ABC=112.5°

若∠A=∠DBA=30°

則等腰△BCD中，∠CDB=∠C=∠CBD=60°

∴∠ABC=90°(舍去)

∴∠ABC=135°，或112.5°

（3）

解：如圖1中，設頂角∠A=x，則x+2x+2x=180°，

解得：x=36°，即頂角∠A=36°;

此時△BCD∽△ABC， , ， 解得特異線BD= -1;

如圖2中，7x=180°， x= °，即頂角∠A=°

【解析】（1）只要證明△ABE, △AEC是等腰三角形即可；（2）如圖2中，當BD是特異線時，分三種情況討論；如圖3中，當AD是特異線時，AB=BD,AD=DC,根據等腰三角形性質即可；當CD為特異線時，不合題意。（3）如圖3中，當BD是特異線時，分兩種情況討論即可；當AD是特異線時，不合題意。
【考點精析】通過靈活運用三角形的內角和外角，掌握三角形的三個內角中，只可能有一個內角是直角或鈍角；直角三角形的兩個銳角互余；三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和；三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角即可以解答此題．