Question

【題目】如圖，已知拋物線y=x2+bx+c的頂點坐標為M（0，﹣1），與x軸交于A、B兩點．

（1）求拋物線的解析式；
（2）判斷△MAB的形狀，并說明理由；
（3）過原點的任意直線（不與y軸重合）交拋物線于C、D兩點，連接MC，MD，試判斷MC、MD是否垂直，并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線y=x2+bx+c的頂點坐標為M（0，﹣1），

∴ ，解得b=0，c=﹣1，

∴拋物線的解析式為：y=x2﹣1

（2）

解：△MAB是等腰直角三角形．

由拋物線的解析式為：y=x2﹣1可知A（﹣1，0），B（1，0），

∴OA=OB=OM=1，

∴∠AMO=∠MAO=∠BMO=∠MBO=45°，

∴∠AMB=∠AMO+∠BMO=90°，AM=BM，

∴△MAB是等腰直角三角形

（3）

解：MC⊥MD；

分別過C點，D點作y軸的平行線，交x軸于E、F，過M點作x軸的平行線交EC延長線于G，交DF于H，

設D（m，m2﹣1），C（n，n2﹣1），

∴OE=﹣n，CE=1﹣n2，OF=m，DF=m2﹣1，

∵OM=1，

∴CG=n2，DH=m2，

∵EG∥DH，

∴ ，

即 = ，

m（1﹣n2）=﹣n（m2﹣1），

m﹣mn2=﹣m2n+n，

（m2n﹣mn2）=﹣m+n，

mn（m﹣n）=﹣（m﹣n），

∴mn=﹣1

解得m=﹣ ，

∵ = =﹣n， = = =﹣n，

∴ = ，

∵∠CGM=∠MHD=90°，

∴△CGM∽△MHD，

∴∠CMG=∠MDH，

∵∠MDH+∠DMH=90°

∴∠CMG+∠DMH=90°，

∴∠CMD=90°，

即MC⊥MD．

【解析】（1）待定系數法即可解得．（2）由拋物線的解析式可知OA=OB=OM=1，得出∠AMO=∠MAO=∠BMO=∠MBO=45°從而得出△MAB是等腰直角三角形．（3）分別過C點，D點作y軸的平行線，交x軸于E、F，過M點作x軸的平行線交EC于G，交DF于H，設D（m，m2﹣1），C（n，n2﹣1），通過EG∥DH，得出 ，從而求得m、n的關系，根據m、n的關系，得出△CGM∽△MHD，利用對應角相等得出∠CMG+∠DMH=90°，即可求得結論．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解二次函數的圖象的相關知識，掌握二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點，以及對二次函數的性質的理解，了解增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減��；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．