Question

【題目】如圖，E是四邊形ABCD的邊AB上一點．

（1）猜想論證：如圖，分別連接DE、CE，若∠A=∠B=∠DEC=65°，試猜想圖中哪兩個三角形相似，并說明理由．

（2）觀察作圖：如圖，在矩形ABCD中，AB=5，BC=2，且A，B，C，D四點均在正方形網格（網格中每個小正方形的邊長為1）的格點（即每個小正方形的頂點）上，試在圖中矩形ABCD的邊AB上畫出所有滿足條件的點E（點E與點A，B 不重合），分別連結ED，EC，使四邊形ABCD被分成的三個三角形相似（不證明）．

（3）拓展探究：如圖，將矩形ABCD沿CM折疊，使點D落在AB邊上的點E處，若點E恰好將四邊形ABCM分成的三個三角形相似，請直接寫出的值．

Answer 1

【答案】（1）△ADE∽△BEC；（2）見解析；（3）=．

【解析】

試題分析：（1）△ADE∽△BEC，理由為：利用三角形內角和定理及鄰補角定義得到一對角相等，再由已知角相等，利用兩角相等的三角形相似即可得證；

（2）如圖②a與圖②b所示，點E為所求的點；

（3）由點E恰好將四邊形ABCM分成的三個三角形相似，利用相似三角形對應角相等得到三個角相等，再由折疊的性質得到∠DCM=∠MCE=∠BCE=30°，EC=CD=AB，在Rt△BCE中，利用銳角三角函數定義求出所求式子比值即可．

解：（1）△ADE∽△BEC，理由為：

∵∠A=65°，

∴∠ADE+∠DEA=115°，

∵∠DEC=65°，

∴∠BEC+∠DEA=115°，

∴∠ADE=∠BEC，

∵∠A=∠B，

∴△ADE∽△BEC；

（2）作圖如下：

（3）∵點E恰好將四邊形ABCM分成的三個三角形相似，

∴△AEM∽△BCE∽△ECM，

∴∠BCE=∠ECM=∠AEM，

由折疊可知：△ECM≌△DCM，

∴∠ECM=∠DCM，CE=CD，

∴∠BCE=∠ECM=∠DCM=30°，

∴DC=CE=AB，

在Rt△BCE中，cos∠BCE==cos30°，

∴=．