Question

【題目】如圖，已知拋物線y=﹣x2+2x+3與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左邊），與y軸交于點C，連接BC．

（1）求A，B，C三點的坐標；

（2）若點P為線段BC上一點（不與B，C重合），PM∥y軸，且PM交拋物線于點M，交x軸于點N，當△BCM的面積最大時，求△BPN的周長；

（3）在（2）的條件下，當△BCM的面積最大時，在拋物線的對稱軸上存在一點Q，使得△CNQ為直角三角形，求點Q的坐標．

Answer 1

【答案】（1）A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）；（2）3+；（3）Q1（1， ），Q2（1， ），Q3（1，﹣），Q4（1， ）．

【解析】試題分析：（1）依據拋物線的解析式直接求得C的坐標，令y=0解方程即可求得A、B點的坐標；

（2）求出△BCM面積的表達式，這是一個二次函數，求出其取最大值的條件；然后利用勾股定理求出△BPN的周長；

（3）如解答圖，△CNQ為直角三角形，分三種情況：①點Q為直角頂點；②點N為直角頂點；③點C為直角頂點進行解答．

試題解析：（1）由拋物線的解析式y=﹣x2+2x+3，

∴C（0，3），

令y=0，﹣x2+2x+3=0，解得x=3或x=﹣1；

∴A（﹣1，0），B（3，0）．

（2）設直線BC的解析式為：y=kx+b，則有：

，解得，

∴直線BC的解析式為：y=﹣x+3．

設P（x，﹣x+3），則M（x，﹣x2+2x+3），

∴PM=（﹣x2+2x+3）﹣（﹣x+3）=﹣x2+3x．

∴S△BCM=S△PMC+S△PMB=PM（xP﹣xC）+PM（xB﹣xP）=PM（xB﹣xC）=PM．

∴S△BCM=（﹣x2+3x）=﹣（x﹣）2+．

∴當x=時，△BCM的面積最大．

此時P， ），∴PN=ON=，

∴BN=OB﹣ON=3﹣=．

在Rt△BPN中，由勾股定理得：PB=．

C△BCN=BN+PN+PB=3+．

∴當△BCM的面積最大時，△BPN的周長為3+．

（3）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4

∴拋物線的對稱軸為直線x=1．

在Rt△CNO中，OC=3，ON=，由勾股定理得：CN=．

設點D為CN中點，則D（， ），CD=ND=．

如解答圖，△CNQ為直角三角形，

①若點Q為直角頂點．

作Rt△CNO的外接圓⊙D，與對稱軸交于Q1、Q2兩點，由圓周角定理可知，Q1、Q2兩點符合題意．

連接Q1D，則Q1D=CD=ND=．

過點D（， ）作對稱軸的垂線，垂足為E，

則E（1， ），Q1E=Q2E，DE=1﹣=．

在Rt△Q1DE中，由勾股定理得：

Q1E==．

∴Q1（1， ），Q2（1， ）；

②若點N為直角頂點．

過點N作NF⊥CN，交對稱軸于點Q3，交y軸于點F．

易證Rt△NFO∽Rt△CNO，則，即，解得OF=．

∴F（0，﹣），又∵N（，0），

∴可求得直線FN的解析式為：y=x﹣．

當x=1時，y=﹣，

∴Q3（1，﹣ ）；

③當點C為直角頂點時．

過點C作Q4C⊥CN，交對稱軸于點Q4．

∵Q4C∥FN，∴可設直線Q4C的解析式為：y=x+b，

∵點C（0，3）在該直線上，∴b=3．

∴直線Q4C的解析式為：y=x+3，

當x=1時，y=，

∴Q4（1， ）．

綜上所述，滿足條件的點Q有4個，

其坐標分別為：Q1（1， ），Q2（1， ），Q3（1，﹣），Q4（1， ）．