Question

【題目】鐵嶺“荷花節”舉辦了為期15天的“荷花美食”廚藝秀．小張購進一批食材制作特色美食，每盒售價為50元，由于食材需要冷藏保存，導致成本逐日增加，第x天（1≤x≤15且x為整數）時每盒成本為p元，已知p與x之間滿足一次函數關系；第3天時，每盒成本為21元；第7天時，每盒成本為25元，每天的銷售量為y盒，y與x之間的關系如下表所示：

第x天	1≤x≤6	6＜x≤15
每天的銷售量y/盒	10	x+6

（1）求p與x的函數關系式；

（2）若每天的銷售利潤為w元，求w與x的函數關系式，并求出第幾天時當天的銷售利潤最大，最大銷售利潤是多少元？

（3）在“荷花美食”廚藝秀期間，共有多少天小張每天的銷售利潤不低于325元？請直接寫出結果．

Answer 1

【答案】（1）p=x+18；（2）第13天時當天的銷售利潤最大，最大銷售利潤是361元；（3）第7、8、9、10、11、12、13、14、15天共9天銷售利潤不低于325元

【解析】試題分析：（1）設p=kx+b（k≠0），然后根據第3天和第7天的成本利用待定系數法求一次函數解析式解答即可；

（2）根據銷售利潤=每盒的利潤×盒數列出函數關系式，再根據一次函數的增減性和二次函數的最值問題求解；

（3）根據（2）的計算以及二次函數與一元二次方程的關系求解．

試題解析：（1）設p=kx+b（k≠0），∵第3天時，每盒成本為21元；第7天時，每盒成本為25元，∴，解得： ，所以p=x+18；

（2）1≤x≤6時，w=10[50﹣（x+18）]=﹣10x+320，6＜x≤15時，w=[50﹣（x+18）]（x+6）=﹣x2+26x+192，所以，w與x的函數關系式為，

當1≤x≤6時，∵﹣10＜0，∴w隨x的增大而減小，∴當x=1時，w最大為﹣10+320=310，6＜x≤15時，w=﹣x2+26x+192=﹣（x﹣13）2+361，∴當x=13時，w最大為361，

綜上所述，第13天時當天的銷售利潤最大，最大銷售利潤是361元；

（3）w=325時，﹣x2+26x+192=325，x2﹣26x+133=0，解得x1=7，x2=19，所以，7≤x≤13時，即第7、8、9、10、11、12、13天共7天銷售利潤不低于325元．