Question

【題目】如圖，△ABC中，AB=AC，以AC為直徑的⊙O交BC于點，交AB于點E，點F為AC延長線上一點，且∠BAC=2∠CDF．

（1）求證：DF是⊙O的切線；

（2）連接DE，求證：DE=DB；

（3）若，CF=2，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）7

【解析】

（1）連接AD，OD，根據等腰三角形性質證明∠CDF=∠ADO，證明∠ODF=90°則可得出結論；（2）由（1）得BD=DE=CD，即可證明；（3）證明△AFD∽△DFC，根據等比關系，可求出CD，DF長度，即可求出半徑.

（1如圖，

連接AD，OD，∵AC為直徑，∴∠ADC=90°，

∴AD⊥CD，∵AB=AC，∴∠BAD=∠CAD=∠BAC，

∵∠BAC=∠CDF，∴∠CDF=∠DAC，

∵OA=OD，∴∠DAC=∠ADO，∴∠CDF=∠ADO，

∵∠ADO+∠ODC=90°，∴∠CDF+∠ODC=90°，

∴∠ODF=90°，∵OD為⊙O的半徑，

∴DF是⊙O的切線.

（2）由（1）得，BD=CD，∠EAD=∠CAD,

∴BD=DE=CD，∴DE=DB.

（3）∵AB=AC，AD⊥BC，

∴BD=CD，

∵cosB=，∴AB=3BD，∴AC=3DC，

設CD=x，則AC=3x，∴AD=AC-CD，

∴AD=2x，

∵∠DAC=∠CDF，∠AFD=∠CFD，

∴△AFD∽△DFC，

∴==，

∴==，

∴DF=4，x=，

∴AC=3x=14，

∴⊙O的半徑為7.