Question

【題目】如圖，已知，以為直徑作半圓，半徑繞點順時針旋轉得到，點的對應點為，當點與點重合時停止．連接并延長到點，使得，過點作于點，連接，．

（1）______；

（2）如圖，當點與點重合時，判斷的形狀，并說明理由；

（3）如圖，當時，求的長；

（4）如圖，若點是線段上一點，連接，當與半圓相切時，直接寫出直線與的位置關系．

Answer 1

【答案】（1）；（2）是等邊三角形，理由見解析；（3）的長為或；（4）

【解析】

(1)先證AC垂直平分DB,即可證得AD=AB;

(2)先證AD=BD,又因為AD=AB,可得△ABD是等邊三角形；

(3)分當點在上時和當點在上時，由勾股定理列方程求解即可；

(4)連結OC,證明OC∥AD, 由與半圓相切，可得∠OCP=90°,即可得到與的位置關系.

解：（1）∵為直徑，

∴∠ACB=90°,

又∵

∴AD=AB

∴，

故答案為10；

（2）是等邊三角形，

理由如下：∵點與點重合，∴，

∵，∴，

∵，∴，

∴是等邊三角形；

（3）∵，∴，

當點在上時，

則，，∵，，

∴在和中，

由勾股定理得，即，

解得，∴；

當點在上時，同理可得，

解得，∴，

綜上所述，的長為或；

（4）.

如圖，連結OC，

∵與半圓相切，

∴OC⊥PC,

∵△ADB為等腰三角形，,

∴∠DAC=∠BAC,

∵AO=OC

∴∠CAO=∠ACO,

∴∠DAC=∠ACO,

∴OC∥AD,

∴.