Question

【題目】如圖，已知等腰△ABC中，頂角∠A=36°，BD為∠ABC的平分線，求證：點D是AC的黃金分割點．

Answer 1

【答案】解：在等腰△ABC中，頂角∠A=36°，

所以∠ABC=∠C=72°，

∵BD為∠ABC的平分線，

∴∠ABD=∠DBC=36°，

在△ACB和△BCD中，∠BDC=72°

∵∠C=∠C，∠A=∠CBD=36°，

∴△ACB∽△BCD，

∴AC：BC=BC：DC；

∵∠A=∠ABD，

∴AD=BD，

∵∠DBC=36°，∠C=72°，

∴∠BDC=72°，

∴BD=BC，

∴AD=BC，

∴AC：AD=AD：DC；

即點D是AC的黃金分割點

【解析】欲證點D是AC的黃金分割點，就是證明AC：AD=AD：DC，根據角平分線的性質以及已知條件推知∠C=∠C，∠A=∠CBD=36°，所以△ACB∽△BCD；然后根據相似三角形的對應邊成比例求得AC：AD=AD：DC；最后由等腰三角形的性質得到：BC=BD=DA，代換即可．
【考點精析】通過靈活運用黃金分割，掌握把線段AB分成兩條線段AC，BC（AC>BC），并且使AC是AB和BC的比例中項，叫做把線段AB黃金分割，點C叫做線段AB的黃金分割點，其中AC=0.618AB即可以解答此題．