Question

【題目】綜合與實踐：

問題情境：矩形旋轉中的數學

已知在矩形中，，，以點為旋轉中心，逆時針旋轉矩形，旋轉角為，得到矩形，點、點、點的對應點分別為點、點、點．

操作猜想：

（1）如圖①，當點落在邊上時，求線段的長度；

深入探究：

（2）如圖②，當點落在線段上時，與相交于點，連接，求線段的長度；

（3）請從，兩題中任選一題作答，我選______題．

題：如圖③，設點為邊的中點，連接，，，在矩形旋轉過程中，的面積是否存在最大值？若存在請直接寫出這個最大值；若不存在請說明理由．

題：如圖④，設點為矩形對角線交點，連接，，在矩形旋轉過程中，的面積是否存在最大值？若存在請直接寫出這個最大值；若不存在請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）CE= 2-；（2）DH=；（3）A題：存在最大值+1；B題：存在最大值．

【解析】

（1）由旋轉的性質可得AE=AB，利用勾股定理可求出DE的長，即可得CE的長；

（2）如圖，由旋轉的性質及矩形性質可得AE=CD，∠AEF=∠B=90°，根據點落在線段上可得AE⊥CF，利用HL可證明△ACD≌△CAE，可得∠CAH=∠ACH，即可證明AH=CH，在Rt△ADH中，利用勾股定理列方程求出DH的長即可；

（3）A題：如圖，連接PA，作BM⊥PE，交PE延長線于M，由點P為FG中點可得PF=PG=1，利用勾股定理可得PA=PE=，即可得出S△BEP=PE·BM=BM，可得當BM最大時，△BEP的面積最大，根據三角形的三邊關系及直角三角形的性質求出BM的最大值即可得答案；

B題：如圖，過點B作BM⊥FA，交FA延長線于M，利用勾股定理可求出AF的長，根據矩形性質可求出PF的長，可得出S△BFP=PF·BM，可得BM最大時△BFP的面積最大，利用三角形的三邊關系得出BM的最大值即可得答案．

（1）∵以點為旋轉中心，逆時針旋轉矩形，得到矩形，，，

∴AE=AB=CD=2，AD=BC=1，

∴DE==，

∴CE=CD-DE=2-．

（2）以點為旋轉中心，逆時針旋轉矩形，得到矩形，，，

∴AE=AB=CD=2，∠AEF

∵點落在線段上，

∴∠AEC=90°，

在Rt△ACD和Rt△CAE中，，

∴Rt△ACD≌Rt△CAE，

∴∠CAH=∠ACH，

∴AH=CH，

在Rt△ADH中，AH2=DH2+AD2，

∴（CD-DH）2=DH2+AD2，即（2-DH）2=DH2+12，

解得：DH=．

（3）A題：

如圖，連接PA，作BM⊥PE，交PE延長線于M，

∵點P為GF中點，

∴PG=PF=1，

∴PA=PE==，

∴S△BEP=PE·BM=BM，

∴當BM最大時，△BEP的面積最大，

∵BM≤BP，BP≤AB+AP=2+，

∴BM≤2+，即BM的最大值為2+，

∴△BEP的面積的最大值為：BM=×（2+）=+1．

B題：

如圖，過點B作BM⊥FA，交FA延長線于M，

∵AB=2，BC=1，矩形AEFG由矩形ABCD旋轉所得，

∴AF==，

∴PF=AF=，

∴S△BFP=PF·BM=BM，

∴當BM最大時，△BFP的面積最大，

∵BM≤AB，

∴BM的最大值為AB=2，

∴△BFP的面積的最大值為BM=×2=．