Question

【題目】如圖，點E是正方形ABCD對角線AC上一點，EF⊥AB，EG⊥BC，垂足分別為E，F，若正方形ABCD的周長是40cm．
（1）求證：四邊形BFEG是矩形；
（2）求四邊形EFBG的周長；
（3）當AF的長為多少時，四邊形BFEG是正方形？

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD為正方形，

∴AB⊥BC，∠B=90°．

∵EF⊥AB，EG⊥BC，

∴EF∥GB，EG∥BF．

∵∠B=90°，

∴四邊形BFEG是矩形

（2）解：∵正方形ABCD的周長是40cm，

∴AB=40÷4=10cm．

∵四邊形ABCD為正方形，

∴△AEF為等腰直角三角形，

∴AF=EF，

∴四邊形EFBG的周長C=2（EF+BF）=2（AF+BF）=20cm

（3）解：若要四邊形BFEG是正方形，只需EF=BF，

∵AF=EF，AB=10cm，

∴當AF=5cm時，四邊形BFEG是正方形

【解析】（1）由正方形的性質可得出AB⊥BC、∠B=90°，根據EF⊥AB、EG⊥BC利用“垂直于同一條直線的兩直線互相平行”，即可得出EF∥GB、EG∥BF，再結合∠B=90°，即可證出四邊形BFEG是矩形；（2）由正方形的周長可求出正方形的邊長，根據正方形的性質可得出△AEF為等腰直角三角形，進而可得出AF=EF，再根據矩形的周長公式即可求出結論；（3）由正方形的判定可知：若要四邊形BFEG是正方形，只需EF=BF，結合AF=EF、AB=10cm，即可得出結論．