Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，AM、BN分別與⊙O相切于點A、B，CD交AM、BN于點D、C，DO平分∠ADC.

（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）設AD＝4，AB＝x (x > 0)，BC＝y (y > 0). 求y關于x的函數解析式.

Answer 1

【答案】
（1）證明：過O做OE⊥CD于點E，

則∠OED＝90°
∵⊙O與AM相切于點A
∴∠OAD＝90°
∵OD平分∠ADE
∴∠ADO＝∠EDO
∵OD＝OD
∴△OAD≌△OED
∴OE＝OA
∵OA是⊙O的半徑
∴OE是⊙O的半徑
∴CD是⊙O的切線
（2）解：過點D做DF⊥BC于點F，則DF＝AB＝x

∵AD＝4，BC＝y
∴CF＝BC－AD＝y－4
由切線長定理可得：
∴DE=DA,CE=CB
∴CD＝CE＋ED
＝BC＋AD
＝4＋y
在Rt△DFC中，
∵CD2＝DF2＋FC2
∴(y＋4)＝x 2＋(y－4)2
整理得：y＝ x2
則y關于x的函數關系式為：y＝ x2

解法二：連接OC，

∵CD、CB都是⊙O的切線
∴CE＝CB＝y
OC平分∠BCD
即：∠OCD＝ ∠BCD
同理：DE＝AD＝4
∠CDO＝ ∠CDA
∵AM、BN分別與⊙O相切
且AB為⊙O的直徑
∴AM//BN
∴∠BCD＋∠CDA＝180°
∴∠OCD＋∠CDO＝90°
∵∠CDO＋∠OCD＋∠COD＝180°
∴∠COD＝90°
∵在Rt△DOC中，
OD2＝OA2＋AD2
即OD2＝( )2＋42
同理可得：
OC2＝( )2＋y2
∵CD＝CE＋ED＝y＋4
∴在Rt△OCD中
CD2＝OC2＋OD2
即(y＋4)2＝( )2＋42＋( )2＋y2
整理得：y＝ x2
則y關于x的函數關系式為：y＝ x2
【解析】（1）過O做OE⊥CD于點E，則∠OED＝90° ，根據切線的性質，圓的切線垂直于經過切點的半徑得出∠OAD＝90° ，根據角平分線的定義得出∠ADO＝∠EDO ，從而根據AAS判斷出△OAD≌△OED，根據全等三角形的對應邊相等得出OE＝OA ，根據切線的判定定理得出CD是⊙O的切線 ；
（2）解法一 ：過點D做DF⊥BC于點F，則DF＝AB＝x ，根據矩形的性質及線段的和差得出CF＝BC－AD＝y－4 ，由切線長定理可得：DE=DA,CE=CB ,根據線段的和差得出CD＝CE＋ED＝BC＋AD＝4＋y ，在Rt△DFC中，由勾股定理得出(y＋4)＝x 2＋(y－4)2 ，從而得出y與x之間的函數關系式 ；解法二：連接OC，根據切線長定理得出CE＝CB＝y ，OC平分∠BCD ，即：∠OCD＝ ∠BCD，同理：DE＝AD＝4 ，∠CDO＝ ∠CDA ，又AM、BN分別與⊙O相切且AB為⊙O的直徑 ，故AM//BN，根據二直線平行同旁內角互補得出∠BCD＋∠CDA＝180° ，進而得出∠OCD＋∠CDO＝90° ，根據平角的定義得出∠CDO＋∠OCD＋∠COD＝180° ，從而得出COD＝90°，在Rt△DOA中，根據勾股定理得出OD2＝( )2＋42 , 同理可得：OC2＝( x 2 )2＋y2 ,由于CD＝CE＋ED＝y＋4 ，在Rt△OCD中 ，CD2＝OC2＋OD2 ，即(y＋4)2＝( x 2 )2＋42＋( x 2 )2＋y2 ，從而得出y與x之間的函數關系。
【考點精析】本題主要考查了切線長定理和垂徑定理的推論的相關知識點，需要掌握從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角；推論1：A、平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧B、弦的垂直平分線經過圓心，并且平分弦所對的兩條弧C、平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧；推論2 ：圓的兩條平行弦所夾的弧相等才能正確解答此題．