Question

【題目】以四邊形的邊、、、為斜邊分別向外側作等腰直角三角形，直角頂點分別為、、、，順次連結這四個點，得四邊形．

（1）如圖1，當四邊形為矩形時，請判斷四邊形的形狀（不要求證明）．

（2）如圖2，當四邊形為一般平行四邊形時，設

①試用含的代數式表示，寫出解答過程；

②求證：，并判斷四邊形是什么四邊形？請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）四邊形是正方形；

（2）①=90°+，②HE=HG證明過程見詳解；

四邊形是正方形，理由見詳解．

【解析】

(1)根據等腰直角三角形的性質得到∠E=∠F=∠G=∠H=90°，求出四邊形是矩形，根據勾股定理求出AH=HD=AD，DG=GC=DC ，BF=CF=BC，EA=EB=AB，推出EF=FG=GH=EH，根據正方形的判定推出四邊形EFGH是正方形即可；
(2)①根據平行四邊形的性質得出，∠BAD=180°-，根據△HAD和△EAB是等腰直角三角形，得到∠HAD=∠EAB=45°，求出∠HAE即可；
②根據△AEB和△DGC是等腰直角三角形，得出AE=AB，DG=CD，平行四邊形的性質得出AB=CD，求出∠HDG=90°+=∠HAE，根據SAS證△HAE≌△HDG，根據全等三角形的性質即可得出HE=HG；同理可得GH=GF，FG=FE，推出GH=GF=EF=HE，得出菱形EFGH，根據∠AHD=90°得∠EHG=90°，即可推出結論．

解：（1）∵以矩形的邊、、、為斜邊分別向外側作等腰直角三角形，

∴∠E=∠F=∠G=∠H=90°，∠HAD=∠EAB=45°，∠BAD=90°，

∴∠EAH=180°，即E、A、H三點在一條直線上，

同理可知：E、B、F三點共線，F、C、G三點共線，G、D、H三點共線，

∴AH=HD=AD，DG=GC=DC ，BF=CF=BC，EA=EB=AB，

∴EF=FG=GH=EH，

∴四邊形EFGH是正方形．

（2）①∠HAE=90°+

解：在平行四邊形ABCD中
AB//CD，
∴∠BAD=180°-∠ADC=180°-

∵△HAD和△EAB是等腰直角三角形,
∴∠HAD=∠EAB=45°，

∴∠HAE=360°-∠HAD-∠EAB-∠BAD=360°-45°-45°-(180°-)=90°+
故用含的代數式表示∠HAE是90°+
，
②證明：∵△AEB和△DGC是等腰直角三角形，

∴AE=AB，DG=DC

∵平行四邊形ABCD中，AB=CD，
∴AE=DG，
∵△AHD和△DGC是等腰直角三角形，
∴∠HDA=∠CDG=45°，
∴∠HDG=∠HDA+∠ADC+∠CDG=90°+=∠HAE

∵△AHD是等腰直角三角形
∴HA=HD
∴△HAE≌△HDG
∴HE=HG.
答:四邊形EFGH是正方形
理由是:

由以上同理可得:
GH=GF，FG=FE，
∵HE=HG，
∴GH=GF=EF=HE，

∴四邊形EFGH是菱形，
∵△HAE≌△HDG，
∴∠DHG=∠AHE，
∵∠AHD=∠AHG+∠DHG=90°

∴∠EHG=∠AHG+∠AHE=90°

∴四邊形EFGH是正方形．