Question

【題目】如圖，正方形ABCD中，AB＝4，E，F分別是邊AB，AD上的動點，AE＝DF，連接DE，CF交于點P，過點P作PK∥BC，且PK＝2，若∠CBK的度數最大時，則BK長為_____．

Answer 1

【答案】6．

【解析】

根據全等三角形的性質得到∠ADE＝∠DCF，求得∠CPD＝90°，得到點P在以CD為直徑的半圓上運動，取CD的中點O，過O作OM⊥CD，且點M在CD的右側，MO＝2，連接OP，KM，推出四邊形POMK是菱形，于是得到點K在以M為圓心，半徑＝2的半圓上運動，當BK與⊙M相切時，∠CBK最大，根據勾股定理即可得到結論．

解：∵正方形ABCD中，AD＝CD，∠A＝∠CDA＝90°，

∵AE＝DF，

∴△ADE≌△DCF（SAS），

∴∠ADE＝∠DCF，

∵∠ADE+∠CDE＝90°，

∴∠DCF+∠CDE＝90°，

∴∠CPD＝90°，

∴點P在以CD為直徑的半圓上運動，

取CD的中點O，過O作OM⊥CD，且點M在CD的右側，MO＝2，

連接OP，KM，

∵PK∥BC，BC⊥CD，

∴PK⊥CD，

∴PK∥OM，PK＝OM＝2，

∴四邊形POMK是平行四邊形，

∵CD＝AB＝4，

∴OP＝CD＝2，

∴OP＝OM，

∴四邊形POMK是菱形，

∴點K在以M為圓心，半徑＝2的半圓上運動，

當BK與⊙M相切時，∠CBK最大，

∴∠BKM＝90°，

∵BM＝＝2，

∴BK＝＝6，

故答案為：6．