Question

【題目】如圖，對稱軸為x＝1的拋物線經過A（﹣1，0），B（2，﹣3）兩點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）P是拋物線上的動點，連接PO交直線AB于點Q，當Q是OP中點時，求點P的坐標；

（3）C在直線AB上，D在拋物線上，E在坐標平面內，以B，C，D，E為頂點的四邊形為正方形，直接寫出點E的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）點P（，）或（，）；（3）點E的坐標為：（2，﹣1）或（1，﹣4）或（0，﹣3）或（2，﹣5）.

【解析】

（1）先根據拋物線的對稱性確定拋物線與x軸的另外一個交點坐標，再利用待定系數法求解即可；

（2）先利用待定系數法求出直線AB的解析式，再設出點P坐標，由Q是OP中點即可表示出點Q坐標，然后把點Q代入直線AB的解析式，解方程即可求出結果；

（3）分BC為正方形的對角線、BC是正方形的一條邊兩種情況，畫出圖形，分別根據正方形的性質求解即可．

解：（1）對稱軸為x＝1的拋物線經過A（﹣1，0），則拋物線與x軸的另外一個交點坐標為：（3，0），

設拋物線的表達式為：y＝a（x+1）（x﹣3），將點B的坐標代入上式并解得：a＝1，

故拋物線的表達式為：y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3；

（2）設直線AB的解析式為：，

將點A、B的坐標代入，得：，

解得：，

∴直線AB的表達式為：y＝﹣x﹣1，

設點P（m，m2﹣2m﹣3），當Q是OP中點時，則點Q（m，），

將點Q的坐標代入直線AB 的表達式，得，

解得：m＝，

故點P（，）或（，）；

（3）①當BC為正方形的對角線時，如圖1所示，

∵直線AB的表達式為：y＝﹣x﹣1，則點C（0，﹣1），點D（0，﹣3），

∴BE＝CD＝2，故點E1（2，﹣1）；

②當BC是正方形的一條邊時，

（Ⅰ）當點D在BC下方時，如圖2所示，

拋物線頂點P的坐標為：（1，﹣4），點B（2，﹣3），可得PB⊥BC，

有圖示兩種情況，左圖，點C、E的橫坐標相同，在函數對稱軸上，故點E2（1，﹣4）；

此時，點D、E的位置可以互換，故點E3（0，﹣3）；

右圖，點B、E的橫坐標相同，

∵D（1，﹣4），∴E4（2，﹣5）；

（Ⅱ）當點D在AB上方時，此時要求點B與點D橫坐標相同，這是不可能的，故不存在；

綜上，點E的坐標為：（2，﹣1）或（1，﹣4）或（0，﹣3）或（2，﹣5）．