Question

在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，將一個足夠大的直角三角板ROQ的直角頂點O放在對角線AC上（除A、C兩點外），將三角板繞點O旋轉，兩直角邊OQ、OR與矩形兩鄰邊分別交于E、F兩點．

（1）如圖1，若兩直角邊與邊AB、BC相交，當三角板的直角頂點O與AC的中點重合時，請直接寫出OE與OF的數量關系；
（2）如圖2，若兩直角邊與邊AB、BC相交，當AO=m時，請寫出OE與OF的數量關系，并證明你的結論；
（3）請你在圖3中畫出當直角三角板ROQ的直角頂點O在對角線AC上滑動時，但OE與OF的數量關系不隨之改變的某一時刻的圖形．

Answer 1

分析：（1）OE與OF的數量關系即AB與AD的邊長比；
（2）過點O作OM⊥AB，ON⊥BC，利用△OMF∽△ONE，可得出兩線段之間的關系；
（3）按題意作出圖形，只要直角三角板ROQ的兩直角邊OQ、OR與矩形CD、BC邊相交或與AB、AD邊相交即可（過點O作OM⊥AB，ON⊥BC，利用△OMF∽△ONE，得出OE與OF只要直角頂點O在對角線AC上滑動，
OE與OF的數量關系則不隨之改變）．

解答：解：（1）OE與OF的數量關系是OE：OF=AB：AC=3：4；（1分）

（2）

OE

OF

=

15-3m

4m

．（2分）
如圖2，過點O分別作AB、BC的垂線，垂足為M、N．
由題意易知，OM⊥ON，AC=5，BC=AD=4，
∵OM⊥AB，BC⊥AB∴OM∥BC．
∴△AOM∽△ACB．（3分）
∴

OM

BC

=

AO

AC

．
∴

OM

4

=

m

5

．
∴MO=

4m

5

．（4分）
同理可得ON=

15-3m

5

．（5分）
∵∠MOF+∠FON=90°，∠FON+∠EON=90°，
∴∠MOF=∠NOE．
又∵∠OMF=∠ONE=90°，
∴△OMF∽△ONE．（6分）
∴

OE

OF

=

ON

OM

．（7分）
∴

OE

OF

=

15-3m

4m

．

（3）如圖，只要直角三角板ROQ的兩直角邊OQ、OR與矩形CD、BC邊相交或與AB、AD邊相交即可．（8分）

點評：熟練掌握矩形的性質，能夠運用相似三角形的性質，求解一些線段成比例的問題，會求解三角形相似．