Question

如圖，在矩形ABCD中，AF、BE、CE、DF分別是矩形的四個角的角平分線，E、M、F、N是其交點，求證：四邊形EMFN是正方形．

Answer 1

分析：首先根據已知條件證明四邊形EMFN是矩形，再根據正方形的判定：鄰邊相等的矩形是正方形即證明FM=EM即可．

解答：證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴四個內角均為90°，
∵AF，BE，CE，DF分別是四個內角的平分線，
∴∠EBC=∠ECB=45°，
∴△EBC為等腰直角三角形，
∴∠E=90°，
同理∠F=∠EMF=∠ENF=90°，
∴四邊形MFNE為矩形，
∵AD=BC，∠E=∠F=90°，∠DAF=∠EBC=45°，
∴△DAF≌△CBE（AAS）
∴AF=BE，
∵AM=BM，
∴AF-AM=BE-BM，即FM=EM，
∴四邊形MFNE是正方形．

點評：本題考查了矩形的性質和判定、角平分線的性質等腰直角三角形的判定和性質以及正方形的判定，解題的關鍵是對特殊的幾何圖形的判定和性質要熟練掌握．