Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，AD是⊙O的弦，點F是DA延長線上的一點，過⊙O上一點C作⊙O的切線交DF于點E，CE⊥DF．

(1)求證：AC平分∠FAB；

(2)若AE＝1，CE＝2，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】試題分析：（1）連接OC，根據切線的性質和圓周角定理，得出∠OCA=∠OAC與∠CAE=∠OCA，然后根據角平分線的定義可證明；

（2）由圓周角定理得到∠BCA=90°，由垂直的定義，可求出∠CEA=90°，從而根據兩角對應相等的兩三角形相似可證明△ACB∽△AEC，再根據相似三角形的對應邊成比例求得AB的長，從而得到圓的半徑.

試題解析：(1)證明：連接OC.

∵CE是⊙O的切線，∴∠OCE =90°

∵CE⊥DF，∴∠CEA=90°，

∴∠ACE+∠CAE=∠ACE+∠OCA=90°，∴∠CAE=∠OCA

∵OC＝OA，∴∠OCA=∠OAC.

∴∠CAE=∠OAC，即AC平分∠FAB

(2)連接BC.

∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB =∠AEC =90°.

又∵∠CAE=∠OAC，∴△ACB∽△AEC,∴.

∵AE＝1，CE＝2，∠AEC =90°，∴

∴，∴⊙O的半徑為．